科学のおもちゃ箱@Hatena

半円筒に立てかけた棒２

静力学

半円筒に立てかけた棒 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
の類題。

【問題】

半径 $r$ のなめらかな半円筒が水平な粗い床に固定してある。質量 $m$ 、長さ $l$ の一様な細い棒を円筒の軸に垂直に、床との角度が45°をなすように立てかけるとする。棒と床の間の静止摩擦係数を $\mu$ とするとき、すべることなく立てかけることのできる棒の長さの限界を求めよ。

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【解答】

図のようにおく。

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棒が受ける力のつりあいは

$\displaystyle\frac{R}{\sqrt{2}} + N = mg$

$\displaystyle\frac{R}{\sqrt{2}} = F$

棒が受ける力のモーメントのつりあいは、床との接点を軸として

$Rr = mg\cdot\displaystyle\frac{l}{2\sqrt{2}}$

以上を連立させて、力を求めると

$R = \displaystyle\frac{l}{2\sqrt{2} r} mg$

$F = \displaystyle\frac{l}{4r} mg$

$N = \left(1 - \displaystyle\frac{l}{4r}\right) mg$

$N\gt 0$ より、 $\mu$ がいくら大きくても、 $l$ は $4r$ を超えられないことがわかる。

$F \le \mu N$ より、

$l_{\rm max} = \displaystyle\frac{4\mu}{1+\mu} r$

を得る。 $\mu \rightarrow \infty$ のとき、 $l_{\rm max} \rightarrow 4r$ となる。条件を超えた場合、それがはなはだしくなければ、棒は床をすべって適当なつり合い位置で止まるか、または床に落ちる。

f:id:yokkun831:20210403132802p:plain — 様々な条件で試してみた