Ｕ字管内の液柱の振動

振動

【問題】

断面積 A のＵ字管に，密度 \rho の液体が長さ L だけ入っている。液面がつりあい位置からずれて起こる液柱の振動の周期を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを g とし，液体と管壁の間の摩擦や，液体の粘性などの影響は無視してよい。
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※　Algodooの設定は，L = 5.5[m] である。例によって，液柱はチェーンで代用している。（水の入ったV字管つき台車 - 科学のおもちゃ箱@Hatena）

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【解答】Ｕ字管内の液柱の振動

液柱の加速度を a とすると，運動方程式は

\rho AL a = -2\rho Ag\cdot x

したがって，単振動の角振動数および周期は，

\omega = \displaystyle\sqrt\frac{2g}{L}\quad , \qquad T = 2\pi\displaystyle\sqrt\frac{L}{2g} = \pi\displaystyle\sqrt\frac{2L}{g}

となる。

【別解】

つりあい位置を位置エネルギーの基準として，エネルギー保存の式は

\displaystyle\frac{1}{2}\rho A L v^2 + \rho Ag x^2 = {\rm const.}

単振動のエネルギー保存

\displaystyle\frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}KX^2 = {\rm const.}

と比較して，周期

T = 2\pi\displaystyle\sqrt\frac{M}{K} = \pi\displaystyle\sqrt\frac{2L}{g}

を得る。

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（初稿：2010/04/26）