中心力が保存力であること - 科学のおもちゃ箱@Hatena

中心力とは、大きさが距離のみに依存し、方向が動径方向（中心に向かうまたは中心から離れる方向）であるような力です。したがって、
$\boldsymbol{f} = f(r) \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}}{r} = \left(\frac{fx}{r}, \frac{fy}{r}, \frac{fz}{r} \right)$
と書けます。

保存力の条件は
$\nabla\times\boldsymbol{f} = \boldsymbol{0}$
ですから、これを証明すればよいわけです。

$[\nabla\times\boldsymbol{f}]_z = \displaystyle\frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}$
$= \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{fy}{r}\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{fx}{r}\right)$
$= \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{y}{r} + fy \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{r}\right) - \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{x}{r} - fx \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{r}\right)$

ここで、
$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{df}{dr}\cdot\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{df}{dr}\cdot\frac{x}{r}$
$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{r}\right) = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)\cdot\frac{\partial r}{\partial x} = -\frac{x}{r^3}$
などを適用すれば、

$[\nabla\times \boldsymbol{f}]_z = \displaystyle\frac{df}{dr}\cdot\frac{xy}{r^2} - \frac{fxy}{r^3} - \frac{df}{dr}\cdot\frac{xy}{r^2} + \frac{fxy}{r^3} = 0$