非保存力による一周の仕事 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

なかなか巧妙に仕組まれた問題。
【問題】
任意の定ベクトル
$\boldsymbol{A} = A_1 \boldsymbol{i}+A_2 \boldsymbol{j}+A_3 \boldsymbol{k}$
位置ベクトルを
$\boldsymbol{r} ＝ x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$
また非保存力を、
$\boldsymbol{F} ＝ \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{r}$
とする。
$xy$ 平面上( $z=0$ )で、原点中心に半径 $a$ の円に沿って反時計回りに一周するとき、 $\boldsymbol{F}$ がする仕事 $W$ を求めよ。

【解答】
円筒座標をとり、単位ベクトルを $\boldsymbol{e}_\rho, \boldsymbol{e}_\phi, \boldsymbol{e}_z=\boldsymbol{k}$ とする。
積分経路において

$\boldsymbol{r} = a \boldsymbol{e}_\rho$
$d\boldsymbol{r} = a d\phi \boldsymbol{e}_\phi$

したがって、

$W = \displaystyle\int \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}\\ = \displaystyle\int_0^{2\pi}(\boldsymbol{A} \times a \boldsymbol{e}_\rho) \cdot a \boldsymbol{e}_\phi d\phi\\ = a^2 \displaystyle\int_0^{2\pi}(\boldsymbol{e}_\rho \times \boldsymbol{e}_\phi) \cdot \boldsymbol{A} d\phi\\ = a^2 \displaystyle\int_0^{2\pi} \boldsymbol{e}_z \cdot \boldsymbol{A} d\phi\\ = a^2 \displaystyle\int_0^{2\pi} A_3 d\phi\\ = 2\pi a^2 A_3$