距離に比例する中心力下の力学的エネルギー

【問題】
質量 $m$ の質点が $xy$ 平面上でその位置ベクトルが
$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{i} a\cos\omega t + \boldsymbol{j} b\sin\omega t + \boldsymbol{k}\cdot 0$
で表される運動をしている。質点の力学的エネルギーを求めよ。
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【解答】
位置
$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{i} a\cos\omega t + \boldsymbol{j} b\sin\omega t$
速度
$\dot{\boldsymbol{r}} = -\boldsymbol{i} a\omega\sin\omega t + \boldsymbol{j} b\omega\cos\omega t$
加速度
$\ddot{\boldsymbol{r}} = -\boldsymbol{i} a\omega^2\cos\omega t - \boldsymbol{j} b\omega^2\sin\omega t = -\omega^2\boldsymbol{r}$

運動エネルギー
$K = \displaystyle\frac{1}{2}m{\dot{\boldsymbol{r}}}^2 = \frac{1}{2}m(a^2 \sin^2\omega t+b^2 \cos^2\omega t)\omega^2$

力
$\boldsymbol{f} = m\ddot{\boldsymbol{r}} = - m\omega^2\boldsymbol{r}$
ポテンシャルエネルギー（原点基準）
$U = -\displaystyle\int \boldsymbol{f}\cdot {\rm {d}}\boldsymbol{r} = m\omega^2\displaystyle\int \boldsymbol{r}\cdot{\rm{d}}\boldsymbol{r} = \displaystyle\frac{1}{2}m\omega^2\boldsymbol{r}^2 = \frac{1}{2}m(a^2\cos^2\omega t + b^2\sin^2\omega t)\omega^2$

力学的エネルギー
$E = K + U = \displaystyle\frac{1}{2}m(a^2+b^2)\omega^2$