質点のついた円板の斜面転がり - 科学のおもちゃ箱@Hatena

質量 $M$ 、半径 $r$ の一様な円板があり、その中心から $d$ の位置に質量 $m$ の質点がくっついている。この円板が傾角 $\alpha$ の斜面上で滑ることなく転がる運動を考察する。質点位置が円板中心と接地点中心をつなぐ半径上にあるとき（図の右側）に、放すとする。

ラグランジアンは次のようになる。

$L = \displaystyle\frac{1}{2}M(r{\dot{\theta}})^2+\frac{1}{2}I{\dot{\theta}}^2+\frac{1}{2}m\{(r\dot{\theta}-d\dot{\theta}\cos\theta)^2+(d\dot{\theta}\sin\theta)^2\}+Mgr\theta\sin\alpha+mg(r\theta\sin\alpha+d\cos(\theta+\alpha)\}\\ = \displaystyle\frac{3}{4}Mr^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{2}m\{(r - d\cos\theta)^2+d^2\sin^2\theta\}{\dot{\theta}}^2+(M+m)gr\sin\alpha+mgd\cos(\theta+\alpha)$

微分すると
$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = {\Large [} \frac{3}{2}Mr^2 + m\{(r-d\cos\theta)^2+d^2\sin^2\theta\}{\Large ]}\dot{\theta}$
$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \theta} = m{\dot{\theta}}^2\{(r-d\cos\theta)d\sin\theta+d^2\sin^2\theta\}+(M+m)gr\sin\alpha-mgd\sin(\theta+\alpha)$

運動方程式は、数値積分しやすい形にすれば
$\ddot{\theta} = \displaystyle\frac{-mrd\sin\theta\cdot{\dot{\theta}}^2 + (M+m)gr\sin\alpha - mgd\sin(\theta+\alpha)}{\displaystyle\frac{3}{2}Mr^2+m\{(r-d\cos\theta)^2+d^2\sin^2\theta\}}$
となる。

$m=M/5$ の場合の数値積分とシミュレーションは次のようになった。

質点の質量 $m$ が大きくなっていくと、いずれ円板がそのまま斜面を転がり降りずに振動に移行する。その境界に興味をもった。

ポテンシャルエネルギーの基準を考察の簡明さのために初期位置に移す。
$U(\theta) = -(M+m)gr\theta\sin\alpha+mgd\{\cos\alpha - \cos(\theta+\alpha)\}$

初期状態と同じく $U(\theta)=0$ となるような $\theta$ が存在すれば振動となる。その条件を整理すると、
$\displaystyle\frac{(M+m)r\sin\alpha}{md} < \displaystyle\frac{\cos\alpha - \cos(\theta - \alpha)}{\theta}$
を得る。

右辺は質量に無関係に決まるので、その最大値が振動に移行するか否かの $m$ の境界値を決めることになる。右辺を微分して＝０としても簡単に解ける方程式とはならないので、ここは数値計算で求めることにした。下図（PTC Mathcad による）がその概要である。 $m$ の境界値を適用した場合、右辺が最大値をとる $\theta$ においてポテンシャルエネルギーが０の最大値をとることが確認できた。