支点の水平振動によって励振される振り子

「解析力学」（久保）の演習より。支点が水平に強制振動するときに起こる振り子の励振（共鳴）とうなり。

【問題】

長さ $l$ の単振り子の支点が，

$S(t) = S_0\cos\omega_0 t$

に従って水平に振動するとき，振り子の運動について運動方程式を立て，振れ角 $\theta$ が小さい場合の近似を用いて運動を調べよ。重力加速度の大きさを $g$ とする。
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※Algodooの設定は， $l = 10.0$ [m]、 $\omega_0 = 1.05$ [rad/s] である。
Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=389&file=Resonance3.phz

【解答】

$x = l\cos\theta \qquad y = l\sin\theta + S\,,\quad S = S_0\cos\omega_0t$

$\dot{x} = -l\dot{\theta}\sin\theta \qquad \dot{y} = l\dot{\theta}\cos\theta + \dot{S}$

ラグランジアンは，

$L = \displaystyle\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2) + mgx = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + ml\dot{\theta}\dot{S}\cos\theta + \frac{1}{2}m\dot{S}^2 + mgl\cos\theta$

微分して，

$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = ml^2\dot{\theta} + ml\dot{S}\cos\theta\qquad \frac{\partial L}{\partial \theta} = -ml\dot{\theta}\dot{S}\sin\theta - mgl\sin\theta$

$\displaystyle\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = ml^2\ddot{\theta} + ml\ddot{S}\cos\theta - ml\dot{\theta}\dot{S}\sin\theta$

したがって，運動方程式は

$ml^2\ddot{\theta} + ml\ddot{S}\cos\theta = -mgl\sin\theta$

$\theta \ll 1$ 　により，

$\ddot{\theta} + \omega^2\theta = \displaystyle\frac{{\omega_0}^2S_0}{l}\cos\omega_0t\,,\quad \omega = \sqrt\frac{g}{l}$

となる。特解　 $\theta = B\cos\omega_0t$ 　とおくと，

$-{\omega_0}^2B\cos\omega_0t + \omega^2B\cos\omega_0t = \displaystyle\frac{{\omega_0}^2S_0}{l}\cos\omega_0t \qquad \therefore B = \frac{{\omega_0}^2S_0}{l(\omega^2 - {\omega_0}^2)}$