回転円筒面内を転がる円柱 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

質量 $M$ 、半径 $a$ の厚さが無視できる円筒面が中心軸まわりに回転できるようになっている。その内面を質量 $m$ 、半径 $b$ の円柱が滑ることなく転がるとする。円柱が最下点付近で転がり振動をするとき、その周期を求める。

円筒面の回転角を $\Theta$ 、円柱中心の最下点からの角位置を $\theta$ 、円柱の回転角を $\phi$ とする。 $\phi$ の正方向は $\theta, \Theta$ と逆にとる。

$L = \displaystyle\frac{1}{2}m(a-b)^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{4}mb^2{\dot{\phi}}^2 + \frac{1}{2}Ma^2{\dot{\Theta}}^2 + mg(a-b)\cos\theta$

束縛条件

$a\dot{\Theta} + b\dot{\phi} = (a-b)\dot{\theta}$

より

$\dot{\phi} = \displaystyle\frac{1}{b}\{(a-b)\dot{\theta} - a\dot{\Theta}\}$

を適用すると

$L = \displaystyle\frac{1}{2}m(a-b)^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{4}m\{(a-b)\dot{\theta} - a\dot{\Theta}\}^2 + \frac{1}{2}Ma^2{\dot{\Theta}}^2 + mg(a-b)\cos\theta$

ラグランジュ方程式は

$\displaystyle\frac{3}{2}m(a-b)^2\ddot{\theta} - \frac{1}{2}ma(a-b)\ddot{\Theta} = - mg(a-b)\sin\theta$
$- ma(a-b)\ddot{\theta} + (2M+m)a^2\ddot{\Theta} = 0$