滑車を回して落ちるロープ - 科学のおもちゃ箱@Hatena

オリジナル問題。滑車に巻かれたロープが，滑車を回しながら降下する運動。

【問題】（大学レベル）
質量 $m$ のロープが，質量 $M$ ，半径 $R$ の滑車に一端を固定してちょうど一巻きされている。他端をわずかに下に引いた静止状態から静かに離すと，ロープは滑車を回しながら下に運動を始めた。巻かれたひもがすべて解かれた瞬間のひもの速さを求めよ。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。

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※　Algodoo の設定は， $M=10$ kg , $m=1.0$ kg , $R=1.0$ m である。

Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=283&file=Chain%26Reel.phz

【解答】

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求める速さを $v$ ，その瞬間の滑車の角速度を $\omega$ とおくと，ロープの重心は， $\pi R$ だけ落下しているから，エネルギー保存により

$mg\cdot\pi R = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}MR^2\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2$

$v = R\omega$ を考慮して

$v = \displaystyle\sqrt{\frac{4mg\;\pi R}{M+2m}}$

を得る。

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シミュレーションの方が理論値より速くなった。つりあいを破るためと太さが無視できないことから，「くさり」を少し長くせざるを得なかったせいかもしれない。

ロープが4分の1だけ解かれた状態での静止を初期条件として，数値積分してみた。

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中心角 $\theta$ の部分が鉛直に下がったことによる位置エネルギーの減少分を求める。中心角 $\theta$ の弧をなしているときこの部分のロープの重心位置は，図のように鉛直下向きに $y$ 座標をとれば，

$y_G = \displaystyle\frac{\displaystyle\int_0^\theta \left(\rho Rd\theta\times R\sin\theta\right)}{\displaystyle\int_0^\theta \rho Rd\theta} = \frac{1-\cos\theta}{\theta}\;R$

ただし， $\rho=m/(2\pi R)$ はロープの線密度である。この重心位置が $R\theta/2$ に下がったと見てよいから，ロープのすべてが巻かれているときと比較した位置エネルギーの減少分は，

$\rho R\theta\cdot g\left\{\displaystyle\frac{R\theta}{2} - \frac{R(1-\cos\theta)}{\theta}\right\} = \rho R^2g\left(\displaystyle\frac{\theta^2}{2}-1+\cos\theta\right)$

$\pi/2 < \theta < 2\pi$ であるから，初期状態 $\theta=\pi/2$ のときと比較した減少分を計算すると，

${\it\Delta}U = \displaystyle\frac{mgR}{2\pi}\left(\frac{\theta^2}{2}+\cos\theta-\frac{\pi^2}{8}\right)$

となる。したがってエネルギー保存により，

$\displaystyle\frac{1}{4}(M+2m)v^2 = {\it\Delta}U$

$y$ をロープの下端の座標とし， $y=R\theta$ となることを考慮して整理すると

$v = \displaystyle\frac{dy}{dt} = \sqrt{\frac{2mgR}{\pi(M+2m)}\left(\frac{y^2}{2R^2}+\cos\frac{y}{R}-\frac{\pi^2}{8}\right)}$

を得る。下図はこれを，

$t(y) = \displaystyle\int_{\pi R/2}^y \frac{dy}{\sqrt{\displaystyle\frac{2mgR}{\pi(M+2m)}\left(\frac{y^2}{2R^2}+\cos\frac{y}{R}-\frac{\pi^2}{8}\right)}}$