理想気体の内部エネルギー - 科学のおもちゃ箱@Hatena

${\it\Delta}U=C_v{\it\Delta}T$ の式は，定積変化でなくても使えるのか？という熱力学のFAQ。

定積変化を考えて，熱力学第１法則により

$C_v = \displaystyle\frac{Q}{n{\it\Delta}T} = \frac{{\it\Delta}U}{n{\it\Delta}T}$

$\therefore {\it\Delta}U = nC_v{\it\Delta}T$

一般に理想気体において，これが成立する。

定積変化を考えたのは， $C_v$ を用いて内部エネルギーと温度の関係を導くためだけであり，理想気体では $C_v$ ＝一定で内部エネルギーが絶対温度に比例することがわかっているため，

${\it\Delta}U = nC_v{\it\Delta}T$

は，結果的に，定積変化にかかわらずどんな場合にも，理想気体の内部エネルギー変化と温度変化とをつなぐ関係式として使えるわけである。さらにいえば，

$U = nC_vT$

がただちに示されることになる。

整理すると，

(1)理想気体の内部エネルギーは絶対温度のみの関数で，絶対温度に比例する。
(2)熱力学第１法則を定積変化に適用すると， ${\it\Delta}U=nC_v{\it\Delta}T$ の関係が導かれる。
(3)理想気体では $C_v$ ＝一定だから，(1)を考慮すると(2)の関係，さらに

$U = nC_vT$

がつねに成り立つ。

そして，分子運動論の結論として単原子分子に対して

$C_v = \displaystyle\frac{3}{2}R$

が導かれるというわけだ。

（初稿：2011/02/21）