斜面台と小物体の相対運動

よくある相対運動の問題。
傾角 \theta の斜面をもつ質量 M の台の上で質量 m の小物体が摩擦なく滑り、それにともなって斜面台がなめらかな水平面上を運動する。

水平方向の運動量保存と、力学的エネルギー保存で多くの情報が得られるが、慣性力を考慮した運動方程式を立式して運動を記述したい。

図のように設定する。水平右向きに x 軸、鉛直上方に y 軸をとり、小物体の台に対する相対加速度 (\alpha_x, \alpha_y)、台の外から見た加速度を A<0 とする。


台の運動方程式
MA = - N\sin\theta　…①
台から見た小物体の運動方程式
m\alpha_x = N\sin\theta - mA　…②
m\alpha_y = - mg + N\cos\theta　…③
束縛条件
\displaystyle\frac{\alpha_y}{\alpha_x} = - \tan\theta　…④

①より、
N = - \displaystyle\frac{MA}{\sin\theta}

①+②より、
A = - \displaystyle\frac{m\alpha_x}{M+m}

④より、
\alpha_y = \alpha_x\tan\theta

以上を③に代入すれば、
\alpha_x = \displaystyle\frac{(M+m)g\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}
\alpha_y = - \alpha_x\tan\theta = - \displaystyle\frac{(M+m)g\sin^2\theta}{M+m\sin^2\theta}

再び③より
N = \displaystyle\frac{m(\alpha_y+g)}{\cos\theta} = \displaystyle\frac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}

①より
A = - \displaystyle\frac{N\sin\theta}{M} = - \displaystyle\frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}

を得る。小物体の絶対加速度は
a_x = A+\alpha_x = \displaystyle\frac{Mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}
a_y = \alpha_y = - \displaystyle\frac{(M+m)g\sin^2\theta}{M+m\sin^2\theta}
となる。

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