降り注ぐ粒子群の中の物体 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

早大'09入試問題より。降り注ぐ粒子群から力積を受ける物体の運動。分子運動論に類似の難問。

【問題】

図のように，なめらかな水平面上に面積 $S$ ，傾角 $\theta$ の斜面をもつ，質量 $M$ の斜面台があり，右向きに速さ $V$ で動いている。一方，質量 $m\; (m \ll M)$ の粒子が単位体積当たり $n$ 個の数密度で一様に分布しており，一定の速さ $v$ で鉛直下方に降り注いで台に弾性衝突をする。以下重力や摩擦の影響は無視でき，一度台や水平面に衝突した粒子は，その後の台の運動に影響を与えないものとする。また，粒子どうしの衝突は考慮しなくてよい。

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(1) 斜面および前面に衝突する粒子１個から受ける力積の水平成分の大きさを，それぞれ求めよ。
(2) 斜面および前面に時間 ${\it \Delta}t$ の間に衝突する粒子数を，それぞれ求めよ。
(3) 十分に時間がたつと，台は右方向に等速度運動するようになる。この速さを求めよ。

Algodoo シーンのダウンロード＞
http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=242&file=Waseda09.phz

【解答】降り注ぐ粒子群の中の物体

(1)

$m \ll M$ により，１個の粒子が１回衝突することによる台の速度変化は， $V$ に対して $m/M$ の程度であるから無視できるものとして，台から見た粒子の速度変化を考えると図のようになる。

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したがって，斜面および前面への粒子衝突によって，台が受ける力積の水平成分は，

$P_1 = 2m(v\cos\theta - V\sin\theta)\sin\theta$

$P_2 = 2mV$

となる。

(2)

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斜面および前面に ${\it\Delta}t$ の間に衝突するのは，図の平行四辺形を断面とする領域にある粒子であるから，その個数はそれぞれ

$N_1 = nS(v\cos\theta - V\sin\theta){\it\Delta}t$

$N_2 = nS\sin\theta\cdot V{\it\Delta}t$

となる。

(3)

斜面および前面が ${\it\Delta}t$ の間に受ける力積は，

$N_1 P_1 = 2mnS(v\cos\theta - V\sin\theta)^2\sin\theta\cdot{\it\Delta}t$

$N_2 P_2 = 2mnS\sin\theta\cdot V^2{\it\Delta}t$

したがって，斜面および前面が受ける平均の力は，

$F_1 = 2mnS(v\cos\theta - V\sin\theta)^2\sin\theta$

$F_2 = 2mnS\sin\theta\cdot V^2$

終端速度は， $F_1 = F_2$ によって与えられるから，

$v\cos\theta - V\sin\theta = V \qquad \therefore V = \displaystyle\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}\;v$

を得る。

※　Algodoo での設定は， $M=700$ [kg], $m=1.6$ [kg], $v = 20$ [m/s]}, $V = 11.5$ [m/s], $\theta = \pi/6$ である。シミュレーション結果は良好で，力学シミュレータとしての Algodoo の実力を発揮する一題となった。

www.youtube.com

（初稿：2009/12/07）