動く台と小物体

相対運動 衝突・運動量保存
【問題】

質量 M の台が，なめらかな水平面に置かれている。質量 M_1 のおもりを下げた軽くて伸びない糸が，台に固定された軽い滑車を通じて，台上の質量 M_2 の小物体につなげられている。おもりは，台の右側面にそって摩擦なく運動できるように拘束されているものとし，また M_2 は台上を摩擦なく運動するものとする。全体が静止した状態から静かに小物体を離すとき，おもりが h の高さを落下する間の運動を考察する。

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(1) 台が固定されている場合，運動時間を求めよ。

(2) 台が自由に動ける場合，運動時間と台の移動距離を求めよ。

※　Algodooの設定は，M_1=0.1 [kg],M_2=0.3 [kg],M=0.5 [kg],h=1.5 [m]である.

【解答】

(1)

おもりおよび小物体の運動方程式は，両者の加速度の大きさを a，糸の張力を T として

M_1a = M_1g-T
M_2a = T

したがって，加速度は

a=\displaystyle\frac{M_1g}{M_1+M_2}

となり，運動時間は

h=\displaystyle\frac{1}{2}at^2\quad\therefore t=\sqrt{\displaystyle\frac{2(M_1+M_2)h}{M_1g}}

(2)

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各加速度および力を上の図のようにおく。
おもり，小物体，台の運動方程式は

M_1\beta=N
M_1\alpha=M_1g-T
M_2(\alpha-\beta)=T
M\beta=T-N

以上から，加速度は

\alpha=\displaystyle\frac{M_1(M+M_1+M_2)}{(M_1+M_2)(M+M_1+M_2)-{M_2}^2}\cdot g
\beta=\displaystyle\frac{M_1M_2}{(M_1+M_2)(M+M_1+M_2)-{M_2}^2}\cdot g

運動時間は，

h=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha t^2 \quad\therefore t=\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{\alpha}}

台の移動距離は，

h\times \displaystyle\frac{M_2}{M+M_1+M_2}

によって得られる。後者は，全体の重心の水平位置が変わらないことから自明でもある。

Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=210&file=OneTwoThree.phz

（初稿：2009/11/27）