二重連結棒の水平面回転 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

二重連結棒をなめらかな水平面上で回転させるとき，定常回転時に生じる振動の問題。Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1369108983より。

【問題】
図のように、2本の等しい一様な棒OB,BCが滑らかなちょうつがいで点Bにおいてつながれ、点Oを固定点として水平面内で自由に回転する。棒の質量をそれぞれ $M$ 、長さを $2a$ とし、水平面に対して垂直上向きに $z$ 軸をとり、図のように $\theta$ と $\phi$ をとる。

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(1) 系全体のラグランジアンを書け。

(2) (1)のラグランジアンを用いて、 $\theta$ と $\phi$ についてラグランジュ運動方程式をかけ。(ただし、 $\theta$ と $\phi$ の時間微分を実行しなくてよい）

(3) $\psi=\phi-\theta$ が一定である定常運動では $\dot\psi$ と $\dot\theta$ (上付きドットは時間微分)も一定である。

(i) 定常運動の場合、ラグランジュの運動方程式より $\sin\psi=0$ となることを示せ。

したがって、 $\psi=0,\pi$ とおける。 $\psi=0$ で与えられる定常運動は安定であり $\psi=\pi$ で与えられる運動は不安定である。

(ii) (i)の $\psi=0$ で与えられる定常運動が安定であることを調べるために $\dot\theta=\omega+\dot\varepsilon$ とおいてラグランジュの運動方程式を $\varepsilon$ と $\psi$ についての微分方程式に書き換えよ。だたし $\omega$ は一定である。また、 $\varepsilon$ と $\psi$ およびこれらの時間微分は非常に小さいので一次まで考えればよい。

(iii) (ii)で得られた $\varepsilon$ と $\psi$ についての微分方程式から $\varepsilon$ を消去して $\psi$ に関する微分方程式を求め、 $\psi=0$ のまわりの微小振動の周期を求めよ。

【解答】

(1)

OBの重心座標 $(x_1,y_1)$ ，BCの重心座標 $(x_2,y_2)$ とおくと，

$x_1 = a \cos\theta$
$y_1 = a \sin\theta$
$x_2 = 2a \cos\theta + a \cos\phi$
$y_2 = 2a \sin\theta + a \sin\phi$

これらを時間微分して，

$L = \displaystyle\frac{1}{2} M({\dot{x}_1}^2 + {\dot{y}_1}^2) + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12} M(2a)^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{2} M({\dot{x}_2}^2+{\dot{y}_2}^2) + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}M(2a)^2{\dot{\phi}}^2$
　 $= \displaystyle\frac{8}{3} Ma^2{\dot\theta}^2 + \frac{2}{3} Ma^2{\dot\phi}^2 + 2Ma^2\dot\theta\dot\phi\cos(\phi-\theta)$

を得る。

(2)

$L$ を微分して運動方程式を立てると，

$8\ddot\theta + 3\ddot\phi \cos(\phi-\theta) + 3\dot\phi\displaystyle\frac{d}{dt} \cos(\phi-\theta) = 3\dot\theta\dot\phi \sin(\phi-\theta)$
$2\ddot\phi + 3\ddot\theta \cos(\phi-\theta) + 3\dot\theta \displaystyle\frac{d}{dt} \cos(\phi-\theta) = -3\dot\theta\dot\phi \sin(\phi-\theta)$