2024-03-20

連星系を記述する３つの運動方程式

質量 $m_1, m_2$ をもつ連星系を考える。
簡単のため、相互の距離 $r=r_1+r_2$ が変わらない円軌道としよう。以下の考察を一般の楕円軌道に応用することはさほど難しくないだろう。

Algodooシーンのダウンロード
https://img.atwiki.jp/yokkun/attach/1/1529/rensei-kei-2-tai-1.phz

2024-03-19

円板の衝突転がり

粗い水平面上に鉛直に静止した質量 $M$ 、半径 $r$ の円板に、質量 $m$ の質点が自由落下して速さ $v_0$ で弾性衝突する。このとき衝突点は水平方向から中心角 $\theta$ の位置とし、円板と質点の間には摩擦はないものとする。衝突後円板は水平面を滑ることなく転がるとするとき、その速さを求める。

これは、
斜面台への落下（力学的エネルギーは保存されるか？） - 科学のおもちゃ箱@Hatena

を思い出して、同様の考察を要する応用問題にならないかと考えた自作問題である。
剛体の回転を含む大学レベルと考えてつくってはみたが、運動量保存とエネルギー保存または反発係数１を連立するもAlgodooのシミュレーションになかなか一致しない。
そこで、上の東北大学の問題に習って運動量‐力積関係にもどって考えたらようやくわかった。円板は滑らずに転がるのだから、衝突時に円板が水平面から受ける撃力には摩擦力が含まれる。これは、円板と質点の系に対して外力であるから、水平方向の運動量は保存しないのだ。また、衝突方向の反発係数１も成立しない。

2024-03-14

質点のついた円板の斜面転がり

質量 $M$ 、半径 $r$ の一様な円板があり、その中心から $d$ の位置に質量 $m$ の質点がくっついている。この円板が傾角 $\alpha$ の斜面上で滑ることなく転がる運動を考察する。質点位置が円板中心と接地点中心をつなぐ半径上にあるとき（図の右側）に、放すとする。

2024-03-13

位置ベクトルの1軸回転

回転系物理数学剛体の回転・角運動量保存

最近、固定座標軸2軸まわりの回転による位置ベクトルの移動を考察した。
位置ベクトルの2軸回転 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

与えられた位置ベクトルを任意の位置に回転させるには、回転軸を任意に取れるならば本来1軸まわりの回転ですむ。回転軸は元ベクトル $\boldsymbol{r}$ と先ベクトル $\boldsymbol{R}$ の両方に垂直だから、両者のベクトル積方向となるだろう。

$\boldsymbol{e}_\perp = \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}|}$

方向だけ取り出して単位ベクトルとした。回転角は、

$\psi = \sin^{-1}\displaystyle\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}|}{r^2}$

となるが、電卓や数学ソフトでは $\sin^{-1}$ の値域は $-\pi/2～\pi/2$ だから、拡張のために次のようにする。

$\psi = (\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{R} \ge 0)\cdot \sin^{-1}\displaystyle\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}|}{r^2} + (\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{R} \lt 0)\cdot \left(\pi - \sin^{-1}\displaystyle\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}|}{r^2}\right)$