位置ベクトルの1軸回転 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

最近、固定座標軸2軸まわりの回転による位置ベクトルの移動を考察した。
位置ベクトルの2軸回転 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

与えられた位置ベクトルを任意の位置に回転させるには、回転軸を任意に取れるならば本来1軸まわりの回転ですむ。回転軸は元ベクトル $\boldsymbol{r}$ と先ベクトル $\boldsymbol{R}$ の両方に垂直だから、両者のベクトル積方向となるだろう。

$\boldsymbol{e}_\perp = \displaystyle\frac{\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}|}$

方向だけ取り出して単位ベクトルとした。回転角は、

$\psi = \sin^{-1}\displaystyle\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}|}{r^2}$

となるが、電卓や数学ソフトでは $\sin^{-1}$ の値域は $-\pi/2～\pi/2$ だから、拡張のために次のようにする。

$\psi = (\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{R} \ge 0)\cdot \sin^{-1}\displaystyle\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}|}{r^2} + (\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{R} \lt 0)\cdot \left(\pi - \sin^{-1}\displaystyle\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}|}{r^2}\right)$

不等号のあるのは論理式である。

以上で1軸回転の方法は終わりだが、これを検証するのはなかなか面倒なことになる。

次の手順をとることにする。
① $z$ 軸を $\boldsymbol{e}_\perp$ の方向に回転させて $z^\prime$ 軸とする。
② $z^\prime$ 軸まわりに $\psi$ 回転する。
③ $z^\prime$ 軸を $z$ 軸にもどす。

①は、先の考察でやった方法で $\boldsymbol{e}_z$ を $\boldsymbol{e}_\perp$ へと回転させる操作の逆をやればよい（今回は座標軸の回転だから）。

結果として回転操作の記述は次のようになるだろう。これはきわめて冗長な連続回転になっており、技術的な意味はほとんどなく、単に上の回転が正当であることを検証するためだけのものである。

$\boldsymbol{R} = \mathcal{R}_z\left({\rm sgn}(\boldsymbol{e}_\perp\cdot\boldsymbol{e}_y) \cos^{-1}\displaystyle\frac{\boldsymbol{e}_\perp\cdot\boldsymbol{e}_x}{(\boldsymbol{e}_\perp\cdot\boldsymbol{e}_x)^2+(\boldsymbol{e}_\perp\cdot\boldsymbol{e}_y)^2}\right) \mathcal{R}_y(\cos^{-1}(\boldsymbol{e}_\perp\cdot\boldsymbol{e}_z)) \mathcal{R}_z(\psi) \\\qquad\qquad\qquad\cdot\mathcal{R}_y(-\cos^{-1}(\boldsymbol{e}_\perp\cdot\boldsymbol{e}_z)) \mathcal{R}_z\left(-{\rm sgn}(\boldsymbol{e}_\perp\cdot\boldsymbol{e}_y) \cos^{-1}\displaystyle\frac{\boldsymbol{e}_\perp\cdot\boldsymbol{e}_x}{(\boldsymbol{e}_\perp\cdot\boldsymbol{e}_x)^2+(\boldsymbol{e}_\perp\cdot\boldsymbol{e}_y)^2}\right) \boldsymbol{r}$