保存力の条件 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

ある力が保存力である条件は，力のベクトル場の回転がゼロであること。

保存力＝その力が物体になす
　　　「仕事が，物体の始点と終点だけで決まり，移動の経路によらない」
　　　　ような力。

この条件はすなわち，

保存力＝「任意の閉回路 $C$ に対して，仕事がゼロ」

とも表現できる。なぜならば，閉回路 $C$ を $C_1$ と $C_2$ の２つに分割すると，

$W = \displaystyle\int_{C} F\cdot dr = \int_{C_1} F\cdot dr + \int_{C_2} F\cdot dr = \int_{C_1} F\cdot dr - \int_{-C_2} F\cdot dr = 0$

ここで経路 $-C_2$ は $C_2$ の逆経路を意味し， $C_1$ と始点・終点を同じくする別経路と見ることができる。

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　　　　　閉回路 $C$ (ABA)を $C_1$ (AB)と $C_2$ (BA)に分ける。

ストークスの定理により，閉回路 $C$ およびそれを境界とする面領域 $S$ において

　　　 $\displaystyle\int_{C=\partial S} F\cdot dr = \int_S \nabla\times F \cdot dS$

左辺が任意の閉回路でゼロであるためには，

$\nabla\times F = 0$

となることが必要十分である。また，この条件は

$F = -\nabla \phi$

となるポテンシャルエネルギー $\phi$ の存在を保証する。
（初稿：2016/04/18）