斜面上の斜方投射と弾性衝突 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

OKWave>http://okwave.jp/qa/q5588769.html　より。斜面上で斜方投射された小球が完全弾性衝突を繰り返す。

【問題】

傾角 $\alpha$ のなめらかな斜面上から，斜面上方に対して角 $\theta$ だけ上方へ向けて小球を投げ上げた。小球は斜面と完全弾性衝突を繰り返す。重力加速度の大きさを $g$ として，下の各問いに答えよ。ただし，投射点を原点として斜面上向きに $x$ 軸をとる。

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(1) $n$ 回目の衝突までの経過時間と，衝突点の $x$ 座標を求めよ。

(2) 3回目の衝突で小球が原点にもどる条件を求めよ。

※　Algodooの設定は， $\alpha=\pi/6$ である。
Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=322&file=ShamenShoutotsu.phz

【解答】

(1)

原点（投射点）から斜面に垂直上方に $y$ 軸をとる。 $x$ 方向， $y$ 方向ともに等加速度運動となる。すると， $y$ 座標が最大となるとき速度の $y$ 成分が0となり，衝突までの時間 $t_1$ は最高点までの２倍だから

$v_0\sin\theta - g\cos\alpha\cdot \displaystyle\frac{t_1}{2} = 0\quad \therefore t_1=\frac{2v_0\sin\theta}{g\cos\alpha}$

衝突は完全弾性衝突だから，速度の $y$ 成分は衝突直前直後で符号を変えるだけで，大きさは変わらない。また，斜面はなめらかだから速度の $x$ 成分は衝突直前直後で変わらない。衝突時の速度の $y$ 成分の大きさは $v_0\sin\theta$ に保たれ，衝突ごとに同じ速度成分で打ち上げられることになる。すなわち，衝突間の経過時間は等しい。 $n$ 回目の衝突までの時間は，

$t_n = nt_1 = \displaystyle\frac{2nv_0\sin\theta}{g\cos\alpha}$

また，そのときの $x$ 座標は

$x_n = v_0\cos\theta\cdot t_n - \displaystyle\frac{1}{2}g\sin\alpha\cdot {t_n}^2\\ \quad = \displaystyle\frac{2n{v_0}^2\sin\theta}{g\cos^2\alpha}\left(\cos\theta\cos\alpha - n\sin\theta\sin\alpha\right)$