水平面との無限回衝突

衝突・運動量保存

無限回衝突問題の基本。

【問題】

なめらかな水平面から右方向に x 軸，鉛直上方に y 軸をとる。原点Oから斜め上方へ速度 (u,v_1) で小球を打ち上げると，小球は水平面とはねかえり係数 e の衝突を繰り返しながら運動した。重力加速度の大きさを g として，下の各問いに答えよ。

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(1) 1回目の最高点の高さ h_1，衝突までの経過時間 t_1，水平飛距離 d_1 を求めよ。

(2) n-1 回目の衝突直後の速度の y 成分 v_n，その後の最高点の高さ h_n，n 回目の衝突までの時間間隔 t_n，衝突間の水平飛距離 d_n を求めよ。

(3) 初めの投射から衝突が止むまでの合計時間と，衝突が止んですべり始まる x 座標を求めよ。

※ Algodooの設定は，u=2.0{\rm m/s}\;,\; v_1=10{\rm m/s}\;,\;e=0.8 である。

【解答】

(1)

0^2 - {v_1}^2 = 2(-g)h_1 \qquad \therefore h_1 = \displaystyle\frac{{v_1}^2}{2g}

最高点までの時間が t_1/2 だから，

t_1 = \displaystyle\frac{2v_1}{g}

\therefore d_1 = ut_1 = \displaystyle\frac{2uv_1}{g}

(2)

運動の対称性から，衝突直後と次の衝突直前の速度の y 成分の大きさは等しいから，

v_n = ev_{n-1} = e^{n-1}v_1

h_n = e^2h_{n-1} = e^{2(n-1)}h_1 = e^{2(n-1)}\cdot\displaystyle\frac{{v_1}^2}{2g}\quad \because h_n = \frac{{v_n}^2}{2g} = \frac{e^2{v_{n-1}}^2}{2g} = e^2h_{n-1}

t_n = et_{n-1} = e^{n-1}t_1 = e^{n-1}\cdot\displaystyle\frac{2v_1}{g}\quad \because t_n = \frac{2v_n}{g} = \frac{2ev_{n-1}}{g} = et_{n-1}

d_n = ed_{n-1} = e^{n-1}d_1 = e^{n-1}\cdot\displaystyle\frac{2uv_1}{g} \quad \because d_n = \frac{2uv_n}{g} = \frac{2euv_{n-1}}{g} = ed_{n-1}

(3)

求める合計時間は，

T = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty t_n = \sum_{n=1}^\infty e^{n-1}t_1 = \displaystyle\frac{t_1}{1-e} = \frac{2v_1}{(1-e)g}

また，求める x 座標は，

X = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty d_n = \sum_{n=1}^\infty e^{n-1}d_1 = \displaystyle\frac{d_1}{1-e} = \frac{2uv_1}{(1-e)g}\qquad {\rm or} \quad X = uT = \frac{2uv_1}{(1-e)g}

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（初稿：2010/01/27）