回転球の跳ね返り

回転剛体球のあらい水平面への跳ね返りをテーマとした自作問題。

【問題】
高さ h から半径 R の一様な球に回転を与えて水平投射したところ、動摩擦係数 \mu のあらい水平面に弾性衝突した後、回転は止まり鉛直上方に跳ね返った。初め球に与えるべき初速度と回転の角速度を求めよ。ただし、重力加速度の大きさを g とし、空気抵抗は無視できるものとする。なお、「弾性衝突」とは鉛直方向の速さが保存されるという意味である。

【解答】
衝突直前直後の鉛直方向の速さは
v = \sqrt{2gh}
である。

求める初速度と角速度を v_0,\omega_0、衝突時間 {\it \Delta}t 内の平均の垂直抗力を N とすると、

2mv = N{\it \Delta}t\\ I\omega_0 = \mu NR{\it \Delta}t\\ mv_0 = \mu N{\it \Delta}t
ただし、球の質量を M としてI = \displaystyle\frac{2}{5}MR^2

結果、
v_0 = 2\mu\sqrt{2gh}\\ \omega_0 = \displaystyle\frac{5\mu\sqrt{2gh}}{R}
を得る。

Algodooシミュレーションでは、わずかながら水平速度が残った。