ボウリングの軌道

衝突・運動量保存

ボウリングのボールの軌道がピンとの衝突でそれる角度の最大値を求める。

【問題】

ボウリングのボールとピンの衝突を，大小円板の無摩擦弾性衝突として考察する。ボールおよびピンの半径 R,r ，質量 M,m ，ボールの初速度 V_0 とするとき，衝突パラメータ b に対するボールの散乱角 \theta(b) を求む。

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https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=503&file=Bowling.phz

【解答】

衝突後のボールとピンの速さを V,v，ボールの初速度方向に対する進行方向を図のように \theta,\phi とおく。運動量保存により，

MV_0 = MV\cos\theta + mv\cos\phi

0 = MV\sin\theta - mv\sin\phi

エネルギー保存により，

\displaystyle\frac{1}{2}M{V_0}^2 = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}mv^2

無摩擦の弾性衝突だから，ピンの進行方向は衝突時の両者の中心を結ぶ直線方向となる。したがって，

b = (R+r)\sin\phi

以上より，

v = \displaystyle\frac{2M\cos\phi}{M+m}V_0

V = \displaystyle\frac{\sqrt{(M-m)^2+4Mm\sin^2\phi}}{M+m}V_0

\sin\theta = \displaystyle\frac{2mb\sqrt{(R+r)^2-b^2}}{(R+r)\sqrt{(M-m)^2(R+r)^2+4Mmb^2}}

を得る。

M=6.3 [kg],m=1.6 [kg],R=0.109 [m],r=0.0575 [m] とすると，下のグラフのようになる。b=0.1 [m]で \theta は最大となり，その散乱角は約15°となった。シミュレーションは，よい一致をみせている。

※シミュレーションでは，精度を確保するために，サイズのみ10倍としている。

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（初稿：2011/05/01）