ボウリングのボールの軌道がピンとの衝突でそれる角度の最大値を求める。
【問題】
ボウリングのボールとピンの衝突を,大小円板の無摩擦弾性衝突として考察する。ボールおよびピンの半径 R,r ,質量 M,m ,ボールの初速度 V0 とするとき,衝突パラメータ b に対するボールの散乱角 θ(b) を求む。
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https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=503&file=Bowling.phz
【解答】
衝突後のボールとピンの速さを V,v,ボールの初速度方向に対する進行方向を図のように θ,ϕ とおく。運動量保存により,
MV0=MVcosθ+mvcosϕ
0=MVsinθ−mvsinϕ
エネルギー保存により,
12MV02=12MV2+12mv2
無摩擦の弾性衝突だから,ピンの進行方向は衝突時の両者の中心を結ぶ直線方向となる。したがって,
b=(R+r)sinϕ
以上より,
v=2McosϕM+mV0
V=√(M−m)2+4Mmsin2ϕM+mV0
sinθ=2mb√(R+r)2−b2(R+r)√(M−m)2(R+r)2+4Mmb2
を得る。
M=6.3 [kg],m=1.6 [kg],R=0.109 [m],r=0.0575 [m] とすると,下のグラフのようになる。b=0.1 [m]で θ は最大となり,その散乱角は約15°となった。シミュレーションは,よい一致をみせている。
※シミュレーションでは,精度を確保するために,サイズのみ10倍としている。
(初稿:2011/05/01)