ボウリングの軌道

ボウリングのボールの軌道がピンとの衝突でそれる角度の最大値を求める。

【問題】

ボウリングのボールとピンの衝突を,大小円板の無摩擦弾性衝突として考察する。ボールおよびピンの半径 R,r ,質量 M,m ,ボールの初速度 V0 とするとき,衝突パラメータ b に対するボールの散乱角 θ(b) を求む。

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https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=503&file=Bowling.phz

【解答】

衝突後のボールとピンの速さを V,v,ボールの初速度方向に対する進行方向を図のように θ,ϕ とおく。運動量保存により,

MV0=MVcosθ+mvcosϕ

0=MVsinθmvsinϕ

エネルギー保存により,

12MV02=12MV2+12mv2

無摩擦の弾性衝突だから,ピンの進行方向は衝突時の両者の中心を結ぶ直線方向となる。したがって,

b=(R+r)sinϕ

以上より,

v=2McosϕM+mV0

V=(Mm)2+4Mmsin2ϕM+mV0

sinθ=2mb(R+r)2b2(R+r)(Mm)2(R+r)2+4Mmb2

を得る。

M=6.3 [kg],m=1.6 [kg],R=0.109 [m],r=0.0575 [m] とすると,下のグラフのようになる。b=0.1 [m]で θ は最大となり,その散乱角は約15°となった。シミュレーションは,よい一致をみせている。

※シミュレーションでは,精度を確保するために,サイズのみ10倍としている。

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(初稿:2011/05/01)