限界水位を超えると開く水門

流体力学

Yahoo! 知恵袋から拾った問題。

【問題】

高さ1.5m、奥行き1.0mの水門があり、高さ0.7mにある水平回転軸まわりに回転することにより開くようになっている。この水門が自動的に開くには水深はいくら必要か。

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【解答１】

水面を原点とし、鉛直下向きにz 軸をとる。
深さ z の水圧（ゲージ圧）は
P(z) = \rho gz

幅 w=1 として深さ z（H-1.5\le z\le H）～ z+dz における力は
P(z) w dz

水門にかかる回転軸まわりのトルクは
P(z) w dz \times (H-0.7-z)

これを H-1.5~H において積分する。

\tau = \displaystyle\int_{H-1.5}^H P(z) w (H-0.7-z) dz\\ = \rho gw\displaystyle\int_{H-1.5}^H z(H-0.7-z) dz\\ = \rho gw(0.075H - 0.3375)

\tau \gt 0 となると、水門が開く。
すなわち、
H \gt 4.5
となる。

【解答２】

質問者は満足しなかったようで、「積分を用いないで解けないか」という注文をつけて再度投稿。

回転軸から上の圧力中心、下の圧力中心を求める。
上の全圧力×圧力中心までの長さ＝下の全圧力×圧力中心までの長さ
と立式すると、限界深さHが得られる。圧力分布図を描いて上下の重心の鉛直位置を求め、その高さに全圧が作用すると考えて力のモーメントのつりあいを考えればよい。

(H - 1.5)\times 0.8\times 0.4 + 0.8\times 0.8\times1/2\times 0.8/3 = (H - 0.7)\times 0.7\times 0.35 + 0.7\times 0.7\times 1/2\times 2/3\times 0.7
したがって、
H = 4.5
を得る。

圧力分布図の図形重心に面積の重みをかけて、モーメントを比較すればよいわけだ。