２つのばね振り子の結合 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

2連ばね振子を２つの振子の結合とみて、その間のエネルギー交換を考察する。

質量 $m$ の質点とばね定数 $k^\prime$ のばねからなる水平ばね振り子を向かい合わせ、質点間をばね定数 $k$ のばねで結合した系の運動を考える。
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固有振動数と一般解

図のようにおくと運動方程式は
$m\ddot{x} = - k^\prime x + k(y - x)\\ m\ddot{y} = - k^\prime y - k(y - x)$

整理すると
$\ddot{x} = -({\Omega^\prime}^2+\Omega^2)x + \Omega^2 y\\ \ddot{y} = \Omega^2 x - ({\Omega^\prime}^2 + \Omega^2)y$
ただし、 $\Omega^2=k/m, \qquad {\Omega^\prime}^2=k^\prime/m$

$x = A\sin\omega t,\qquad y = B\sin\omega t$
とおいて代入すると、 $A,B$ に対して次の連立方程式を得る。
$- ({\Omega^\prime}^2+\Omega^2 - \omega^2)A + \Omega^2B = 0\\ \Omega^2A - ({\Omega^\prime}^2+\Omega^2 - \omega^2)B = 0$

矛盾のない解の存在のために
$({\Omega^\prime}^2+\Omega^2 - \omega^2)^2 - \Omega^4 = 0$

$\omega$ に対する解が固有角振動数となる。
$\omega_1 = \Omega^\prime = \displaystyle\sqrt\frac{k^\prime}{m}\\ \omega_2 = \sqrt{{\Omega^\prime}^2+2\Omega^2} = \displaystyle\sqrt\frac{k^\prime+2k}{m}$

解を $A,B$ の方程式に代入して得られる振幅関係は
$B=A \qquad {\rm for}\qquad \omega=\omega_1\\ B=-A \quad\; {\rm for}\qquad \omega=\omega_2$

一般解は
$x = a\sin(\omega_1 t + \alpha) + b\sin(\omega_2 t + \beta)$
$y = a\sin(\omega_1 t + \alpha) - b\sin(\omega_2 t + \beta)$
となる。

$b=0$ は同位相、 $a=0$ は逆位相のモード（規準振動）を与える。

f:id:yokkun831:20220206095806p:plain — 上：同位相モード　　下：逆位相モード　　（k=k'/2）

弱い結合のもとで起こるエネルギー交換

２つの振子間結合を弱くし（ $k\ll k^\prime$ ）、一方に振動を与える。
初期条件として
$x(0) = c,\qquad y(0) = 0,\qquad \dot{x}(0) = \dot{y}(0) = 0$
を適用してみよう。

$x,y,\dot{x},\dot{y}$ に初期条件を適用すると
$\alpha = \beta = \pi/2,\qquad a = b = c/2$
を得て、
$x = \displaystyle\frac{c}{2}\cos\omega_1 t + \frac{c}{2}\cos\omega_2 t = c\cos\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}t\cos\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t$
$y = \displaystyle\frac{c}{2}\cos\omega_1 t - \frac{c}{2}\cos\omega_2 t = c\sin\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}t\sin\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t$
となる。固有振動数のわずかな差によってゆっくり振幅が変動し、両者がエネルギー交換をする様子がうかがえる。

f:id:yokkun831:20220206103241p:plain — k=k'/10 の場合のエネルギー交換

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