一定の力を受けて加速する質点の運動

相対論

x 方向の一定の力を受けて初速度０から加速する質点の運動を相対論的に考察する。
※　ここでいう一定の力というのはNewton型の力であって、4元力の空間成分すなわちMinkowski型の力ではない。

v = \displaystyle\frac{dx}{dt}
a = \displaystyle\frac{dv}{d\tau} = {\rm const.}

とする。

\gamma = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{v^2}{c^2}}} とおくと

u^0 = c \displaystyle\frac{dt}{d\tau} = \gamma c
u^1 = \displaystyle\frac{dx}{d\tau} = \frac{dx}{dt}\cdot\frac{dt}{d\tau} = \gamma v

運動方程式の空間成分は

m \displaystyle\frac{du^1}{d\tau} = \gamma a
\displaystyle\frac{du^1}{dt} = a

すなわち

\displaystyle\frac{d(\gamma v)}{dt} = a

積分して

\gamma v = at

すなわち

\displaystyle\frac{v}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{v^2}{c^2}}} = at

v について解くと

v = \displaystyle\frac{dx}{dt} = \frac{at}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{at}{c}\right)^2}}

積分すると

x = \displaystyle\frac{c^2}{a} \left\{\sqrt{1+\left(\frac{at}{c}\right)^2} - 1\right\}

一方

\gamma = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{v^2}{c^2}}} = \sqrt{1+\left(\frac{at}{c}\right)^2}

dt = \gamma d\tau = \sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{at}{c}\right)^2} d\tau

\displaystyle\frac{dt}{\sqrt{1+\left(\displaystyle\frac{at}{c}\right)^2}} = d\tau

積分すると

\displaystyle\frac{at}{c} = \sinh \frac{a\tau}{c}

x に適用して

x = \displaystyle\frac{c^2}{a} \left(\cosh\frac{a\tau}{c} - 1\right)

を得る。

参考：「相対論」（平川浩正、共立出版1975）