科学のおもちゃ箱@Hatena

衝突パラメータと散乱角

中心力場衝突・運動量保存剛体の回転・角運動量保存

軌道方程式を経ずに散乱角と衝突パラメータの関係を得る。

【問題】

$x$ - $y$ 座標原点に固定された原子核Zがあり，座標の第一象限から質量 $m$ の陽子が初速 $V_0$ ，衝突パラメータ $b$ で原子核Z方向へ $x$ 軸に平行に発射される。発射後，原子核Zに近づくにつれて陽子は散乱されて進行方向を変えていく。陽子の軌道上で原子核Zから $r$ だけ離れた点Pにおいてはたらくクーロン斥力は $F =k/r^2$ で表されるものとする。散乱後，原子核から十分離れたときの陽子の速度の，初速度に対する角度（散乱角）を $\phi$ とする。

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(1) 任意の点P（極座標で $(r,\theta)$ ）における速度の $y$ 成分を $V_y$ とするとき， $y$ 方向の運動方程式を書け。

(2) $b$ を $\phi$ の関数として求めよ。

※Algodooの設定は， $k=1.0$ [Nm $^2$ ]， $b=1.0$ [m]， $V_0=2.0$ [m/s] である。

Algodooシーンのダウンロード
http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=411&file=Scatt.phz

【解答】

ラザフォード散乱の軌道 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
において，極座標によるクーロン散乱の軌道を次のように得た。

$\displaystyle\frac{1}{r} = \frac{\sin\phi}{b} + \frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0mv^2b^2}(\cos\phi-1)$

今回の問題に合わせると，

$\displaystyle\frac{1}{r} = \frac{\sin\theta}{b} + \frac{k}{m{V_0}^2b^2}(\cos\theta-1)$

であり，左辺をゼロとする（無限遠の）極限で $\theta = \pi - \phi$ となることから，

$b = \displaystyle\frac{k(1+\cos\phi)}{m{V_0}^2 \sin\phi}$

を得る。今回の問題の題意は，もちろんやっかいな軌道方程式の導出はショートカットしようというものであろうことは推測できたが，その道筋をみつけるのには結構手間取った。

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(1)

求める運動方程式（ $y$ 成分）は，

$m \dot{V_y} = \displaystyle\frac{k \sin\theta}{r^2}$

(2)

角運動量保存により，

$V_0 b = r^2\dot{\theta} \qquad \therefore r^2 = \displaystyle\frac{V_0 b}{\dot{\theta}}$

これを(1)の結果に代入して，

$m \dot{V_y} = \displaystyle\frac{k \sin\theta\cdot\dot{\theta}}{V_0 b}$

時間積分して，

$m V_y = -\displaystyle\frac{k \cos\theta}{V_0 b} + C$

$\theta = 0$ で， $V_y = 0$ より，

$C = \displaystyle\frac{k}{V_0 b} \qquad \therefore V_y = \frac{k(1-\cos\theta)}{mV_0b}$

$\theta=\pi-\phi$ のとき， $V_y = V_0 \sin\phi$ より，上式に代入して，

$V_0 \sin\phi = \displaystyle\frac{k(1+\cos\phi)}{mV_0b}$

$b$ について解くと，

$b = \displaystyle\frac{k(1+\cos\phi)}{m{V_0}^2 \sin\phi}$

を得る。

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（初稿：2010/07/14）