撃力を受けた連結棒の運動

剛体の回転・角運動量保存

【問題】
たがいに等しい一様な２つの棒Ａ，Ｂ（長さ 2a，質量 M ）が，滑らかに回転軸連結されていて，滑らかな水平面の上に一直線に横たえてある。棒Ｂの自由端をちょうつがいでとめ，棒Ａの自由端に，棒に直角に水平な撃力を与えた。

(1) 撃力を受けた瞬間，棒はどのように動くか。

(2) 撃力の大きさを \Phi とするとき，撃力を受けた瞬間の棒の連結点における抗力の大きさを求めよ。

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【解答】

図のようにA,Bの角変位を \theta_1,\theta_2 とおく。ただし，A,B逆向きにとりいずれも正とする。また，A,Bの連結点における抗力の大きさを f とする。Aが受ける抗力は \Phi と同じ向き，Bが受ける抗力は \Phi と逆向きである。

撃力を受けている間のAの重心の加速度を \alpha とおくと，

\alpha = a\ddot{\theta}_1 - 2a\ddot{\theta}_2

の関係がある。

Aの運動方程式

M\alpha = \Phi + f

Aの重心まわりの回転の運動方程式

\displaystyle\frac{1}{12}M(2a)^2\ddot{\theta}_1 = \Phi a - fa

Bの固定軸まわりの回転の運動方程式

\displaystyle\frac{1}{3}M(2a)^2\ddot{\theta}_2 = f\cdot 2a

以上を連立させると，

f = \displaystyle\frac{2}{7}\Phi

\ddot{\theta}_1 = 5\ddot{\theta}_2

を得る。撃力を受けた後，AはBの5倍の角速度で回転を始める。

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（初稿：2010/10/06）