棒が倒れるときの抗力 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

前問と同じ場面である。抗力を求めるからには運動方程式を立てることになる。

【問題】

長さ $2l$ の一様な棒の下端を床につけ、鉛直と角 $\alpha$ だけ傾けて立てて静かに放すとき、傾角 $\theta$ における角速度 $\dot\theta$ と床の抗力 $F$ (摩擦力), $N$ (垂直抗力)を（イ）下端が滑らない場合、（ロ）床が滑らかな場合に求めよ。また（ハ）傾角 $\beta$ のときに滑り始めるならば、棒と床面の間の静止摩擦係数 $\mu_0$ はいくらか。どちらの向きに滑り始めるか？　（出典：「力学への道」学術図書）
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【解答】

(イ)
重心の運動方程式は半径方向と接線方向に分けるのが簡明と思われる。
$Ml{\dot\theta}^2 = Mg \cos\theta - N \cos\theta - F \sin\theta$
$Ml\ddot\theta = Mg \sin\theta - N \sin\theta + F \cos\theta$

回転の運動方程式
$\displaystyle\frac{4}{3}Ml^2\ddot\theta = Mgl \sin\theta$
$\ddot\theta$ について解けば
$\ddot\theta = \displaystyle\frac{3g\sin\theta}{4l}$

力学的エネルギー保存により
$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}Ml^2{\dot\theta}^2 = Mgl(\cos\alpha - \cos\theta)$
$\dot\theta$ について解けば
$\dot\theta = \sqrt{\displaystyle\frac{3g}{2l}(\cos\alpha - \cos\theta)}$

これらを重心の運動方程式に適用し、 $F,N$ を得る。
$F = \displaystyle\frac{3}{4}Mg\sin\theta(3\cos\theta - 2\cos\alpha)$
$N = \displaystyle\frac{1}{4}Mg(1 - 6\cos\alpha\cos\theta+9\cos^2\theta)$

（ロ）
重心の高さ $y$ に対して
$y = l \cos\theta$
$\dot{y} = -l\dot{\theta}\sin\theta$
$\ddot{y} = -l\ddot{\theta}\sin\theta - l{\dot{\theta}}^2\cos\theta$
これを用いて重心の運動方程式
$M\ddot{y} = N - Mg$
を得る。

回転の運動方程式
$\displaystyle\frac{1}{3}Ml^2\ddot\theta = Nl\sin\theta$
$\ddot\theta$ について解けば
$\ddot\theta = \displaystyle\frac{3N\sin\theta}{Ml}$

力学的エネルギー保存により
$\displaystyle\frac{1}{2}M{\dot{y}}^2 + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}Ml^2{\dot\theta}^2 = Mgl(\cos\alpha - \cos\theta)$
$\dot\theta$ について解けば
$\dot\theta = \sqrt{\displaystyle\frac{6g(\cos\alpha - \cos\theta)}{l(1+3\sin^2\theta)}}$

これらを重心の運動方程式に適用して $N$ を得る。
$F = 0$
$N = \displaystyle\frac{4-6\cos\theta\cos\theta + 3\cos^2\theta}{(1+3\sin^2\theta)^2}\cdot Mg$

（ハ）
（イ）の結果を用いて、滑り出すときに
$\mu_0 = \displaystyle\frac{F}{N} = \frac{3\sin\beta(3\cos\beta - 2\cos\alpha)}{1 - 6\cos\alpha\cos\beta+9\cos^2\beta}$
$\theta_0 = \cos^{-1}\left(\displaystyle\frac{2}{3} \cos\alpha\right)$ とするとき
$\beta \lt \theta_0$ ならば後方へ、 $\beta \gt \theta_0$ ならば前方へ滑りだす。