反発係数測定における空気抵抗の考慮

「知恵袋」で次のような質問をみつけた。

出典：「反発係数と変形量の同時測定 : テニス・ボールはどれだけつぶれているか」
吉田米夫, 高橋徹, 小坂純彰（物理教育 1985 年 33 巻 4 号 p. 284-288）

速さ2乗に比例する空気抵抗 $kv^2$ を受けるボールで、初期高さと跳ね返り高さから反発係数を求めると

$e = \displaystyle\sqrt{\frac{e^{2kh_2/m}-1}{1-e^{-2kh_1/m}}}\simeq \sqrt{\frac{h_2+k{h_2}^2/m}{h_1-k{h_1}^2/m}}$

となる、とあるが導出は如何？

近似部分は $2kh/m \ll 1$ により明らかだが、対称性のある美しい結果に魅かれて挑戦してみた。

速さ2乗に比例する抵抗を受ける鉛直運動は下記が参考になる。

抵抗力のある落下運動 2 [物理のかぎしっぽ]

上記ページの速度の時間変化の結果をそのまま流用しよう。

1) 高さ $h_1$ から落下するとき

$v = v_\infty \tanh\left({\displaystyle\frac{t}{\tau}}\right)$
ただし、 $v_\infty = \sqrt{\displaystyle\frac{mg}{k}}$ 、 $\tau = \sqrt{\displaystyle\frac{m}{gk}}$

初期位置を原点とし、下向きに $z$ 軸をとって積分すると

$z = v_\infty \displaystyle\int_0^t \tanh\left(\frac{t}{\tau}\right) dt$

$u=\cosh(t/\tau)$ とおくと、 $du=\sinh(t/\tau) dt/\tau$ より

$z = v_\infty \tau \displaystyle\int_1^{\cosh(t/\tau)} \frac{du}{u} = v_\infty \tau \ln{\cosh\left(\displaystyle\frac{t}{\tau}\right)}$

$t=t_1$ のとき $z=h_1$ 、 $v=v_1$ とすると
$v_1 = v_\infty \tanh\left(\displaystyle\frac{t_1}{\tau}\right)$
したがって、
$\tanh\left(\displaystyle\frac{t_1}{\tau}\right) = \displaystyle\frac{v_1}{v_\infty}$
$h_1 = v_\infty \tau \ln\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(t_1/\tau)}}\right)\\ = - v_\infty \tau \ln\sqrt{1 - {v_1}^2/{v_\infty}^2}\\ = - \displaystyle\frac{v_\infty \tau}{2} \ln\left(\displaystyle\frac{{v_\infty}^2 - {v_1}^2}{{v_\infty}^2}\right)$
となるから、
$\displaystyle\frac{{v_\infty}^2 - {v_1}^2}{{v_\infty}^2} = \exp\left(\displaystyle\frac{- 2h_1}{v_\infty \tau}\right) = \exp\left(\displaystyle\frac{- 2kh_1}{m}\right)$
結果、
$v_1 = v_\infty \sqrt{1 - e^{- 2kh_1/m}}$
を得る。

2) 高さ $h_2$ まで上昇するとき

速度の時間変化は
$v = v_\infty \tan\left(\displaystyle\frac{t}{\tau}+C\right)$
1)と同様、下向き正にとっている。
$t=0$ で $v=-ev_1$ より
$\tan C=-\displaystyle\frac{ev_1}{v_\infty}$
すなわち
$\cos C=\displaystyle\frac{v_\infty}{\sqrt{{v_\infty}^2+e^2{v_1}^2}}$

積分により
$z = v_\infty \displaystyle\int_0^t \tan\left(\displaystyle\frac{t}{\tau}+C\right) dt$

$u=\cos(t/\tau+C)$ とおくと、 $du=-\sin(t/\tau+C) dt/\tau$
したがって、
$z = - v_\infty \tau \displaystyle\int_{\cos C}^{\cos(t/\tau+C)} \frac{du}{u} = - v_\infty \tau \ln\displaystyle\frac{\cos C}{\cos(t/\tau+C)}$

$t=t_2$ のとき $z=h_2$ 、 $v=0$ とすると
$v_\infty \tan(t_2/\tau+C) = 0$
すなわち
$\cos(t_2/\tau+C)=1$
$h_2 = - v_\infty \tau \ln\displaystyle\frac{\cos C}{\cos(t_2/\tau+C)} = v_\infty \tau \ln\displaystyle\frac{\sqrt{{v_\infty}^2+e^2{v_1}^2}}{v_\infty}$