バトンへの衝突とその回転

剛体の回転・角運動量保存 衝突・運動量保存

３つの保存則を用いる問題。

【問題】
質量 m の2つの錘が質量の無視できる長さ L の堅い棒の両端についている。この錘付棒が摩擦を無視できるテーブル上に置かれているとする。質量 m の粒子が速さ v で下図のように棒の片方の錘にぶつかり（なす角は45度）、正反対の向きに跳ね返った。衝突後の棒の重心についての角速度を求めよ。ただし、ここで考えている系の全力学的エネルギーは保存されているものとする。

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Algodooの設定は m=1.0[kg]、L=2.0[m]

Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=409&file=Arei-Collision.phz

【解答】

衝突後のバトンの重心速さ V ，はねかえった粒子の速さ v^\prime ，求める角速度 \omega とすると，

運動量保存により，

mv = 2mV - mv^\prime \quad \therefore v = 2V - v^\prime　…(i)

バトンの重心まわりの角運動量保存により，

mv\cdot \displaystyle\frac{L}{2\sqrt 2} = 2m\left(\frac{L}{2}\right)^2\omega - mv^\prime\cdot\frac{L}{2\sqrt 2}

\therefore v = \sqrt 2 L\omega - v^\prime　…(ii)

エネルギー保存により，

\displaystyle\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} 2mV^2 + \frac{1}{2} 2m\left(\frac{L}{2}\right)^2\omega^2+\frac{1}{2}m{v^\prime}^2

\therefore v^2 = 2V^2 + \displaystyle\frac{1}{2}L^2\omega^2+{v^\prime}^2　…(iii)

(i)(ii)より　V = \displaystyle\frac{L\omega}{\sqrt 2}

(iii)に代入して　v^2- {v^\prime}^2 = \displaystyle\frac{3}{2} L^2\omega^2

(ii)より v+v^\prime = \sqrt{2} L\omega

辺々割れば v - v^\prime = \displaystyle\frac{3}{2\sqrt{2}} L\omega

\therefore \omega = \displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{7} \cdot \frac{v}{L}

となる。

youtu.be


（初稿：2010/07/08、2022/03/21 訂正加筆）