小球を発射する台車

衝突・運動量保存

金沢大'93入試問題より。相対運動がからんだ分裂の問題。

【問題】

なめらかな水平面に置かれた質量 M の台車に，質量 m の小球を発射できる装置がついている。発射角 \theta=\pi/2 のとき，小球は初速 v_0 で上昇した。重力加速度の大きさを g とし，摩擦や空気抵抗は無視できるものとする。
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(1) \theta=0 で発射するとき，発射直後の小球および台車の速さを求めよ。

(2) ある発射角で発射したとき，発射直後の小球の速度の鉛直成分の大きさは v_y であった。このときの小球の水平飛距離 l を求めよ。

(3) (2)の飛距離 l が最大になるときの v_y および l の最大値を求めよ。また，このときの，発射直後の小球と台車の速さ，および \tan\theta を求めよ。

※　Algodoo の設定は，M=4.00{\rm kg}\;,\;m=1.00{\rm kg}\;,\;v_0=8.85{\rm m/s} である。リターンキー（Enter）で発射する。
Algodooシーンのダウンロード>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=341&file=Kanazawa93.phz

【解答】

(1)

求める小球と台車の速度を v, V とすると，運動量保存により

0 = mv + MV

エネルギー保存により，

\displaystyle\frac{1}{2}m{v_0}^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2

両式を連立方程式として解いて，

v = v_0\sqrt{\displaystyle\frac{M}{M+m}} \quad , \quad |V| = \displaystyle{\frac{mv_0}{\sqrt{M(M+m)}}}

を得る。

(2)

小球と台車の速度の水平成分を v_x, V_x とする。水平方向の運動量保存により

0 = mv_x + MV_x

エネルギー保存により，

\displaystyle\frac{1}{2}m{v_0}^2 = \frac{1}{2}m({v_x}^2+{v_y}^2) + \frac{1}{2}M{V_x}^2

両式を連立方程式として解くと，

v_x = \sqrt{\displaystyle\frac{M({v_0}^2-{v_y}^2)}{M+m} }\quad , \quad V_x = -\sqrt{\displaystyle\frac{m^2({v_0}^2-{v_y}^2)}{M(M+m)}}

求める飛距離を l 飛行時間を t とすると，

l = v_x t \quad , \quad v_y - g\displaystyle\frac{t}{2} = 0

\therefore l = \displaystyle\frac{2v_y}{g}\sqrt\frac{M({v_0}^2-{v_y}^2)}{M+m}

(3)

l^2 の v_y を含む因子を取り出すと，

{v_y}^2({v_0}^2-{v_y}^2) = -\left({v_y}^2-\displaystyle\frac{{v_0}^2}{2}\right)^2+\displaystyle\frac{{v_0}^4}{4}

したがって，l が最大となるのは v_y = v_0/\sqrt 2 のときで，最大値は

l_{\rm max} = \displaystyle\frac{{v_0}^2}{g}\sqrt\frac{M}{M+m}

となる。また，このときの小球と台車の速さは，

\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2} = v_0\sqrt{\displaystyle\frac{2M+m}{2(M+m)} }\quad , \quad |V_x| = \displaystyle\frac{mv_0}{\sqrt{2M(M+m)}}

さらに，

\tan\theta = \displaystyle\frac{v_y}{v_x - V_x} = \sqrt\frac{M}{M+m}

となる。

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（初稿：2010/01/28）