ホールインツー

衝突・運動量保存 放物運動

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1142012011から。斜面でバウンドさせたボールをカップイン。

【問題】

反発係数 e の滑らかなボールが高さ h から静かに落下して、下図のような斜面でワンバウンドした後、それ以外の場所ではバウンドせずに穴に入る条件を求めよ。ただし、
斜面は x \le 0 にて、 y=-\tan\theta\cdot x と表せ（0\lt\theta\lt\pi/2）、
最初ボールは (x,y)=(-1,h) に静止している（h\gt\tan\theta）。
穴は、(x,y)=(1,0) の位置に開口しており、ボールが入るのには十分な大きさであるとする。
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※Algodooの設定は，\theta=\pi/6,e=0.7 である。

【解答】ホールインツー

斜面に対して入射角 \theta。このとき反射角 \phi ，衝突直後の速さ v_0 とすると，

ev\cos\theta = v_0\cos\phi

v\sin\theta = v_0 \sin\phi

∴ \tan\phi = \tan\theta/e，\qquad v_0 = v\sqrt{e^2\cos^2\theta+\sin^2\theta}

衝突後の速度の仰角 \alpha とすると，\alpha=\pi/2-\theta-\phi。

衝突から時間 t 後に(1,0) に到達するとして，

x = v_0 \cos\alpha\cdot t - 1 = 1 \qquad \therefore t = \displaystyle\frac{2}{v_0 \cos\alpha}

y = \tan\theta+v_0 \sin\alpha\cdot t -\displaystyle\frac{1}{2}gt^2 = \tan\theta+2\tan\alpha-\frac{2g}{{v_0}^2\cos^2\alpha} = 0

\alpha,v_0 を代入して，\tau=\tan\theta とかくと，

\tau + \displaystyle\frac{2(e-\tau^2)}{\tau(e+1)} - \frac{(1+\tau^2)^2}{(h-\tau)(e+1)^2\tau^2 }= 0

これが，求める条件になる。h について解くと，

h = \tau+\displaystyle\frac{(1+\tau^2)^2}{\tau(e+1)(e\tau^2-\tau^2+2e)}

となる。

たとえば，\theta=\pi/6(\tau=1/\sqrt 3),e=0.7 のとき，h=1.97 である。
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※質問者から補足をいただき，下記の制限条件がつくとのこと。

1-\displaystyle\frac{2}{\tau^2+2} \lt e

これについては，まだ検討できていない。

Algodooシーンのダウンロード>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=398&file=Hole-in-two.phz

（初稿：2010/06/10）