速さの時間微分と加速度の大きさ - 科学のおもちゃ箱@Hatena

ほとんど自明のことだが，「速さの時間微分と加速度の大きさ」は異なるという話。

3次元における質点の一般の運動において，

速　度： $\boldsymbol{V} = (V_x,V_y,V_z)$

加速度： $\boldsymbol{A} = (A_x,A_y,A_z) = \displaystyle\frac{d\boldsymbol{V}}{dt} = \left(\frac{dV_x}{dt},\frac{dV_y}{dt},\frac{dV_z}{dt}\right)$

とおけば，速さの時間微分は

$\displaystyle\frac{dV}{dt} = \frac{d\sqrt{\boldsymbol{V}^2}}{dt} = \frac{\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{A}}{V}$

これが加速度の大きさ $A=|\boldsymbol{A}|$ に一致するのは，

$\boldsymbol{V}\cdot\boldsymbol{A} = VA$

すなわち， $\boldsymbol{V}$ と $\boldsymbol{A}$ の方向が常に一致する場合，つまり直線加速運動のときに限られる。

（初稿：2010/10/17）