棒にかけたひもの落下 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

なめらかな棒にかけられたひもがすべり落ちる運動を求める。

【問題】

質量 $M$ ，長さ $L$ のひもがなめらかな丸い棒にかけられている。初め，両端の高さが $2x_0$ だけ差があり，静かにすべり始めた。重力加速度の大きさを $g$ とする。
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(1) 両端の高さの差が， $2x$ になるときの，ひもの速さを求めよ。（高校レベル）
(2) ひもの運動を導出せよ。（大学レベル）
Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=252&file=ChainDrop.phz

【解答】

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(1)
両端の差が $2x$ になったとき，重力による位置エネルギーを初めと比べると，長さ $x-x_0$ の部分が高さ $x+x_0$ 落下したに等しい。したがって，エネルギー保存により
$\displaystyle\frac{x-x_0}{L}\;Mg(x+x_0) = \frac{1}{2}Mv^2\qquad \therefore v = \sqrt{\frac{2g}{L}(x^2 - {x_0}^2)}$
(2)
(1)の結果から，
$\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x^2 - {x_0}^2}} = \sqrt{\frac{2g}{L}}\;dt$
$x = x_0 \cosh\theta$ とおくと，簡単になって
$d\theta = \sqrt{\displaystyle\frac{2g}{L}}\;dt$
$t=0$ において， $x=x_0$ すなわち $\theta=0$ であるから，
$\theta = \sqrt{\displaystyle\frac{2g}{L}}\;t$
結局，
$x = x_0\cosh\left(\sqrt{\displaystyle\frac{2g}{L}}\;t\right)$
$v = x_0\sqrt{\displaystyle\frac{2g}{L}}\;\sinh\left(\sqrt{\displaystyle\frac{2g}{L}}\;t\right)$
となる。
※ Algodoo の設定は， $L=330$ [m]， $x_0=2$ [m] である。
　「くさり」の振動が最初気になるところだが，いい線いっているようだ。
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（初稿 2009/12/11）

【補足】

$x = x_0 \cosh\theta$ とおくことはなかなか気づきにくい。その場合は、さらに時間微分をとって運動方程式まで下りるのが簡明である。

$\displaystyle\frac{1}{2}Mv^2 = \frac{Mg}{L} (x^2 - {x_0}^2)$
両辺を時間微分して整理すると
$\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{2g}{L} x$
$x=e^{\lambda t}$ とおいて解を求めると、同じ結果に帰着する。

（補足 2020/11/05）