相対運動の保存量 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

運動方程式から、運動量保存および力学的エネルギー保存を導出する。

【問題】
図のように質点と曲面をもつ台が相互に摩擦なく運動するとき、運動方程式から系の運動量保存および力学的エネルギー保存を導出せよ。

水平右方向に $x$ 軸、鉛直上方に $y$ 軸を設定する。
運動方程式

$m \displaystyle\frac{dv_x}{dt} = N_x$ 　 …①

$m \displaystyle\frac{dv_y}{dt} = N_y - mg$ 　 …②

$M \displaystyle\frac{dV}{dt} = - N_x$ 　 …③

①③より、

$m \displaystyle\frac{dv_x}{dt} + M \frac{dV}{dt} = 0$

時間積分すれば

$m v_x + MV = {\rm const.}$ （水平方向の運動量保存）

①より、

$m v_x \displaystyle\frac{dv_x}{dt} = N_x v_x$ ⇒ $\displaystyle\frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2}m {v_x}^2\right) = N_x v_x$

②より、

$m v_y \displaystyle\frac{dv_y}{dt} = (N_y - mg)v_y$ ⇒ $\displaystyle\frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2}m {v_y}^2\right) = (N_y - mg)v_y$

③より、

$M V \displaystyle\frac{dV}{dt} = - N_x V$ ⇒ $\displaystyle\frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2}MV^2\right) = - N_x V$

辺々加えて

$\displaystyle\frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2}m {v_x}^2 + \frac{1}{2} m {v_y}^2 + \frac{1}{2}MV^2\right) = N_x(v_x - V) + N_y v_y - mg v_y$

質点の台に対する相対速度は、 $(v_x - V, v_y)$
これが $(N_x, N_y)$ と垂直であることから、内積０より

$N_x(v_x - V) + N_y v_y = 0$

したがって、

$\displaystyle\frac{d}{dt} \left(\frac{1}{2}m {v_x}^2 + \frac{1}{2} m {v_y}^2 + \frac{1}{2}MV^2\right) = - mg \frac{dy}{dt}$

時間積分して

$\displaystyle\frac{1}{2}m ({v_x}^2 + {v_y}^2) + \frac{1}{2}MV^2 + mgy = {\rm const.}$

を得る。