ハンマーは端から1/3を持て！

剛体の回転・角運動量保存

【問題】

図のように質量 m、長さ L の細い一様な棒の先に質量 M の物体をつけたハンマーがある。ハンマーで釘を打つときどの位置を持てば手がしびれないですむか。ただし、つけた物体の大きさは無視できるものとする。
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【解答】

棒に垂直にヘッドに対して P の力積を加えたとする。
重心の運動量‐力積関係より

(M+m)V = P …①

重心まわりの角運動量‐角力積関係より

I\omega = P\cdot l …②

ただし、l は重心から力積の作用点（ヘッド）までの距離で

l = \displaystyle\frac{m}{M+m}\cdot \frac{L}{2} …③

また、重心まわりの慣性モーメントは

I = Ml^2 + \displaystyle\frac{1}{12} mL^2 + m\left(\frac{L}{2} - l\right)^2 = \frac{m(4M+m)L^2}{12(M+m)} …④

題意は衝突直後に速度０となり、瞬間回転中心になる位置にほかならない。この点を左端から x とすると、

(L - l - x)\omega = V …⑤

つまり、x の位置を軸として \omega で回転することにより重心の速度が V になる、というわけだ。

①②より

\omega = \displaystyle\frac{(M+m)Vl}{I}

⑤に入れると

L - l - x = \displaystyle\frac{I}{(M+m)l}

③④を適用して

x = \displaystyle\frac{L}{3}

となる。

なぜか、M,m とは無関係になる。簡単な結果にしてはずいぶんなプロセス。どこかにブレイクスルーがあるのではないかと思っているがどうだろう？

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【追記 2022/01/22】

分かった気がする。単に細い棒の場合に

x = \displaystyle\frac{L}{3}

となるのだ。

棒が端に受ける力積を p とおくと

mv = p

\displaystyle\frac{1}{12} mL^2\cdot\omega = p\cdot\frac{L}{2}

\left(\displaystyle\frac{L}{2} - x\right)\omega = v

以上より

x = \displaystyle\frac{L}{3}

を得る。
では、物体 M がつくとどうなるか？
物体が外力から受ける力積 P、物体の速度 v^\prime とすると

Mv^\prime = P - p

mv = p

\displaystyle\frac{1}{12} mL^2\cdot\omega = p\cdot\frac{L}{2}

となり、棒に関する限りまったく同じ関係を得るから、瞬間回転中心は同じになるというわけだ。

mv + Mv^\prime = (M+m)V = P

となることに留意しよう。