重心運動と相対運動の角運動量 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

質点系の角運動量が，重心運動の角運動量と重心まわりの相対運動の角運動量の和として表されること。慣性モーメントに関する「平行軸の定理」の根拠でもある。

$i$ 番目の質点の質量を $m_i$ ，位置を $\boldsymbol{r}_i$ とすると，総質量と重心位置は，

$M = \displaystyle\sum_i m_i \qquad \boldsymbol{R} = \frac{\displaystyle\sum_i m_i\boldsymbol{r}_i}{M}$

である。重心運動と相対運動の角運動量の和は，

$\boldsymbol{R}\times M\dot{\boldsymbol{R}} + \displaystyle\sum_i\left\{(\boldsymbol{r}_i - \boldsymbol{R})\times m_i(\dot{\boldsymbol{r}}_i - \dot{\boldsymbol{R}})\right\}\\ = \boldsymbol{R}\times M\dot{\boldsymbol{R}} + \displaystyle\sum_i (\boldsymbol{r}_i\times m_i\dot{\boldsymbol{r}}_i - \boldsymbol{r}_i\times m_i\dot{\boldsymbol{R}} - \boldsymbol{R}\times m_i \dot{\boldsymbol{r}}_i + \boldsymbol{R}\times m_i \dot{\boldsymbol{R}})\\ = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_i m_i \boldsymbol{r}_i}{M}\times M\frac{\displaystyle\sum_j m_j\dot{\boldsymbol{r}}_j}{M} + \sum_i(\boldsymbol{r}_i\times m_i\dot{\boldsymbol{r}}_i) - \sum_i \left(\boldsymbol{r}_i\times m_i \frac{\displaystyle\sum_j m_j\dot{\boldsymbol{r}}_j}{M}\right)\\ \qquad - \displaystyle\sum_i \left(\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_j m_j \boldsymbol{r}_j}{M}\times m_i\dot{\boldsymbol{r}}_i\right) + \sum_i\left(\frac{\displaystyle\sum_j m_j \boldsymbol{r}_j}{M}\times m_i \frac{\displaystyle\sum_k m_k\dot{\boldsymbol{r}}_k}{M}\right)\\ = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i,j} (m_i\boldsymbol{r}_i\times m_j\dot{\boldsymbol{r}}_j)}{M} + \sum_i(\boldsymbol{r}_i\times m_i\dot{\boldsymbol{r}}_i) - \frac{\displaystyle\sum_{i,j} (m_i\boldsymbol{r}_i\times m_j\dot{\boldsymbol{r}}_j)}{M}\\ \qquad - \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i,j} (m_i\boldsymbol{r}_i\times m_j\dot{\boldsymbol{r}}_j)}{M} + \frac{\displaystyle\sum_{i,j} (m_i\boldsymbol{r}_i\times m_j\dot{\boldsymbol{r}}_j)}{M}\\ = \displaystyle\sum_i(\boldsymbol{r}_i\times m_i\dot{\boldsymbol{r}}_i)$