つまづいて倒れる直方体

台車の急停止によって倒れる直方体の問題。Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1448607234から。

【問題】

底面長D,高さH,密度一様で質量mの直方体が台車とともに速さvで運動中,台車がストッパーに衝突停止したために,底面左端を軸として回転を始めるとする。直方体が倒れる限界の初速vを求めよ。ただし,台車は衝突によってはねかえることはなく,直方体が台車上ですべることもないものとする。重力加速度の大きさはgとせよ。
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【解答】
まず,荷物が倒れるときの回転軸まわりの慣性モーメント I を求める。
垂直軸の定理により,重心まわりの慣性モーメントは,

$$I_0 = \frac{1}{12}m(D^2+H^2)$$

平行軸の定理により,求める慣性モーメントは,

$$I = I_0 + \frac{1}{4}m(D^2+H^2) = \frac{1}{3}m(D^2+H^2)$$

衝突の瞬間に受ける撃力は,重力より十分大きいと考えてよく,その作用点はたおれるときの回転軸になるから,回転軸まわりの角運動量は衝突の前後で保存される。したがって,衝突直後の角速度を\omegaとすると,

$$mv\times \frac{H}{2} = I\omega\qquad \therefore \omega = \frac{mvH}{2I}$$

衝突後は,力学的エネルギーが保存される。v,\omegaは倒れる限界値だから,

$$\frac{1}{2}I\omega^2 = mg\cdot\frac{1}{2} (\sqrt{D^2+H^2} - H )$$

上のI,\omegaを代入して,vについて解くと

$$v = \sqrt{\frac{4( D^2+H^2 ) (\sqrt{D^2+H^2} - H) g}{3H^2}}$$

を得る。
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巨大システムで精度向上をはかるが,3%ほどずれる。
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(初稿:2010/10/14)