つまづいて倒れる直方体

静力学 慣性力

台車の急停止によって倒れる直方体の問題。Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1448607234から。

【問題】

底面長D，高さH，密度一様で質量mの直方体が台車とともに速さvで運動中，台車がストッパーに衝突停止したために，底面左端を軸として回転を始めるとする。直方体が倒れる限界の初速vを求めよ。ただし，台車は衝突によってはねかえることはなく，直方体が台車上ですべることもないものとする。重力加速度の大きさはgとせよ。
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【解答】
まず，荷物が倒れるときの回転軸まわりの慣性モーメント I を求める。
垂直軸の定理により，重心まわりの慣性モーメントは，

I_0 = \displaystyle\frac{1}{12}m(D^2+H^2)

平行軸の定理により，求める慣性モーメントは，

I = I_0 + \displaystyle\frac{1}{4}m(D^2+H^2) = \frac{1}{3}m(D^2+H^2)

衝突の瞬間に受ける撃力は，重力より十分大きいと考えてよく，その作用点はたおれるときの回転軸になるから，回転軸まわりの角運動量は衝突の前後で保存される。したがって，衝突直後の角速度を\omegaとすると，

mv\times \displaystyle\frac{H}{2} = I\omega\qquad \therefore \omega = \frac{mvH}{2I}

衝突後は，力学的エネルギーが保存される。v,\omegaは倒れる限界値だから，

\displaystyle\frac{1}{2}I\omega^2 = mg\cdot\frac{1}{2} (\sqrt{D^2+H^2} - H )

上のI,\omegaを代入して，vについて解くと

v = \sqrt{\displaystyle\frac{4( D^2+H^2 ) (\sqrt{D^2+H^2} - H) g}{3H^2}}

を得る。
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巨大システムで精度向上をはかるが，3％ほどずれる。
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https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=439&file=Taoreru.phz

（初稿：2010/10/14）