質点がついた軽い円板の微小振動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

【問題】

質量が無視できる半径 $R$ の円板上，中心から距離 $r$ のところに質量 $M$ の質点が固定されている。鉛直面上で円板が質点を下にしてすべることなく転がって微小振動するとき，その周期を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。
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質点が最下点にあるつり合い位置からの角変位が $\theta$ のとき，円板の瞬間回転中心は接地点となるから，質点の瞬間回転半径 $\rho$ は余弦定理を用いて

$\rho^2 = R^2 - 2Rr\cos\theta + r^2$

である。これを用いて，質点の速さは

$v = \rho|\dot\theta|$

で与えられるから，系のエネルギーは

$E = \displaystyle\frac{1}{2}M\left(R^2 - 2Rr\cos\theta + r^2\right){\dot\theta}^2 - Mgr\cos\theta$

となる。ここで，微小振動の近似をとって

$\cos\theta = 1 - \displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$

とし，定数を省けば

$E = \displaystyle\frac{1}{2}M\left(R-r\right)^2{\dot\theta}^2 + \frac{1}{2}Mr\theta^2\left(g + R{\dot\theta}^2\right)$

ここで，

$R{\dot\theta}^2 \ll g$

を仮定してその影響を無視すると，

$E = \displaystyle\frac{1}{2}M\left(R-r\right)^2{\dot\theta}^2 + \frac{1}{2}Mgr\theta^2$

これを単振動のエネルギー

$E = \displaystyle\frac{1}{2}\mu{\dot{x}}^2 + \frac{1}{2}\kappa x^2$

とみれば，角振動数

$\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{\kappa}{\mu}} = \displaystyle\frac{\sqrt{gr}}{R-r}$

を得，周期は

$T = \displaystyle\frac{2\pi(R-r)}{\sqrt{gr}}$

となる。

先に仮定した

$R{\dot\theta}^2 \ll g$

について証明しておく。角変位の振幅を $\theta_0$ とおくと，角速度の最大値 ${\dot\theta}_{\rm max}$ に対して，近似したエネルギー保存から

${\dot\theta_{\rm max}}^2 = \displaystyle\frac{gr{\theta_0}^2}{(R-r)^2}$

を得る。 $g$ との比をとって， $\alpha=r/R$ を用いると

$\displaystyle\frac{R{\dot\theta_{\rm max}}^2}{g} = \frac{\alpha {\theta_0}^2}{(1-\alpha)^2}$

となり， $r$ と $R$ の比 $\alpha$ として極端な値をとらなければ，この比は $\theta^2$ のオーダーであることになる。これで， $\alpha$ の限定をつけた上ではあるが，近似に矛盾はないことが示された。

常識的な設定でのシミュレーションと数値計算によって近似の正当性を確認してみた。Algodooシミュレーションは，適当な $\alpha$ においてほどよく近似の理論値に一致した。設定は $R=12{\rm m},r=4.0{\rm m}$ ，近似の理論値は $8.0{\rm sec.}$ である。円板の質量をゼロにはできないので，密度設定をスライドバーの最小値としている。
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また，数値シミュレーションでは，近似による周期

$T = \displaystyle\frac{2\pi(R-r)}{\sqrt{gr}}$

と，近似しないエネルギー保存から求めた周期

$T = 4 \displaystyle\int_0^{\theta_0}\sqrt{\displaystyle\frac{R^2-2Rr\cos\theta+r^2}{2gr(\cos\theta-\cos\theta_0)}}d\theta$

を比較した。 $R=0.1{\rm m}$ とし，角変位の振幅を10°，30°，90°にとった場合についてグラフを示している。一番下にある紫の曲線が，近似の理論値である。微小振動と極端でない $\alpha$ の選択において近似がまったく正当なものであることを示していると思われる。
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Algodooシーンのダウンロード>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=612&file=Karui-enban+%26+situten.phz

円板の質量が無視できない場合
質点がついた円板の微小振動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

（初稿：2013/01/29）