くさりの落下と抗力

衝突・運動量保存

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1353774478より。机上に落下するくさりの重心運動と抗力の変化に関する問題。

【問題】（抜粋改題）

長さ L，線密度 \lambda の一様な鎖を鉛直にたらし，鎖の下端が固定された机の面にちょうど達しているように，鎖の上端が手で支えられている。 鎖は、落下後に跳ね返らず、そのまま静止するものとする。くさりが机に接する点を原点とし，鉛直上向きに z 軸をとる。

(1) 鎖の上端を離してから時間 t の後の上端の位置 z(t) を求めよ。落下している部分は自由落下とみなせる。
(2) くさり全体の重心の位置を Z_G とするとき，重心の速度 dZ_G/dt を t の関数として求めよ。
(3) 重心の運動方程式を用いてくさりが机から受ける全抗力 N(t) を求めよ。また，これを上端位置 z の関数 N(z) として表せ。

【解答】

(1)

z = L - \displaystyle\frac{1}{2}gt^2

(2)

高さ0に質量 (L-z)\lambda ，高さ z/2 に質量 z\lambda があると考えて

Z_G = \displaystyle\frac{z\lambda\times z/2}{L\lambda} = \frac{z^2}{2L} = \frac{(L - gt^2/2)^2}{2L}

\therefore \displaystyle\frac{dZ_G}{dt} = -\frac{gt}{L}\left(L - \frac{1}{2}gt^2\right)

(3)

時刻 t における運動量は，

P = L\lambda \displaystyle\frac{dZ_G}{dt}

\therefore \displaystyle\frac{dP}{dt} = \lambda g\left(\frac{3}{2}gt^2 - L\right)

したがって，重心の運動方程式は

\lambda g\left(\displaystyle\frac{3}{2}gt^2 - L\right) = N - L\lambda g

\therefore N = \displaystyle\frac{3}{2}\lambda g^2t^2

(1)の結果を代入して，

N = 3\lambda g(L - z)

を得る。

※机上の鎖の重さは \lambda g(L-z) であるから，余分は非弾性衝突によって生じる分である。微小時間 {\it \Delta}t に失われる運動量は，

-\lambda V{\it\Delta}t\times V = -\lambda g^2t^2{\it\Delta}t

すなわち，衝突による抗力の力積が \lambda g^2t^2{\it\Delta}t だから，抗力の増加分が \lambda g^2t^2 。したがって，

N = \lambda g(L-z) + \lambda g^2t^2 = 3\lambda g(L-z)

となるのである。


Algodooシーンのダウンロード>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=480&file=FallingChain.phz
（初稿：2011/01/22）

追記

机上の鎖の重さを支える力は、f_1=\lambda g(L - z)

微小時間 dt における運動量変化は \lambda vdz= -\lambda v^2dt
等加速度直線運動の公式により v^2 = 2g(L - z)
したがって、運動量変化の源となった力は、f_2 = 2\lambda g(L - z)

結果として鎖が机から受ける抗力の総和は
N = f_1 + f_2 = 3\lambda g(L - z)
となる。