弾性棒とばねで連結された３連振子 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

OKWave
ラグランジアン、ラグランジュの運動方程式の問題が解けません。 - OKWAVE

のQ&Aより。弾性棒とばねで連結された３個の質点のモード（規準振動）を求める。

【問題】
平行に等しい間隔 $a$ になるように一端を固定された３本の弾性棒の先端に，質量 $m$ の質点をつけ，ばね定数 $k$ ，自然長 $a$ のばねで連結する。弾性棒とばねの質量は無視でき，弾性棒の先端は左右のみに変位し，変位に対して比例定数 $K$ の復元力を持つとする。この系のラグランジアンから運動方程式を求め，規準振動を考察せよ。
f:id:yokkun831:20210129080522j:plain

【解答】弾性棒とばねで連結された３連振子

運動方程式は，直接変位と力からでも十分書けるが，指示に従ってラグランジアンから導出する。

$L = \displaystyle\frac{1}{2}m({\dot{x}_1}^2 + {\dot{x}_2}^2 + {\dot{x}_3}^2) - \frac{1}{2}k\{(x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2\} - \frac{1}{2}K({x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2)$

運動方程式は，

$m\ddot{x}_1 = -(k+K)x_1 + kx_2$
$m\ddot{x}_2 = kx_1 - (2k+K)x_2 + kx_3$
$m\ddot{x}_3 = kx_2 - (k+K)x_3$

$x_j = a_je^{i\omega t}$ と置くと，方程式

$\begin{pmatrix} m\omega^2 - (k+K) \qquad\qquad k \qquad\qquad\qquad 0 \\ \qquad k \qquad\qquad m\omega^2 - (2k+K) \qquad\qquad k \\ \qquad\qquad 0 \qquad\qquad\qquad\qquad k \qquad\qquad m\omega^2 - (k+K)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} = 0$

を得る。 $a_j$ を消去して， $\omega$ に関する方程式

$\left|\begin{array}　m\omega^2 - (k+K) \qquad\qquad k \qquad\qquad\qquad 0 \\ \qquad k \qquad\qquad m\omega^2 - (2k+K) \qquad\qquad k \\ \qquad\qquad 0 \qquad\qquad\qquad\qquad k \qquad\qquad m\omega^2 - (k+K) \end{array}\right| = 0$

を解き，対応する振幅 $a_j$ を求めると，規準振動として次を得る。

$a_1 = -a_3 \,,\, a_2=0$ のとき，　　 $\omega_1 = \displaystyle\sqrt\frac{k+K}{m}$
$a_1 = a_3 = -a_2/2$ のとき，　　 $\omega_2 = \displaystyle\sqrt\frac{3k+K}{m}$
$a_1 = a_2 = a_3$ のとき，　　　　 $\omega_3 = \displaystyle\sqrt\frac{K}{m}$