ウェイトのついたターンテーブル - 科学のおもちゃ箱@Hatena

「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。

【問題】（大学レベル）

半径 $a$ ，質量 $M$ の一様な円板でできたターンテーブルが，鉛直軸のまわりに自由に回っている。質量 $m$ のウェイトが載っていて，軸からひもで引かれており，ターンテーブルの直径にそって摩擦なしで動くことができる。初め，全体の回転の角速度は $\omega_0$ で，ウェイトは軸から $R$ の距離に静止していた。

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(1) ウェイトをひもで引いて軸からの距離 $r$ で止めたとき，ターンテーブルの角速度はいくらになるか。
(2) ターンテーブルのエネルギー増加が，ひもから引かれた仕事に等しいことを証明せよ。
(3) 続いてひもが放されて，自由になったウェイトが軸からの距離 $R$ の位置を通り過ぎるときの半径方向の速さはいくらか。

※　Algodoo の設定は， $a=4.0$ m, $M=60$ kg, $m=20$ kg,
$R=3.0$ m, $r=1.0$ m である。ウェイトはUPキーで軸方向へ，DOWNキーで反対に動く。また，リターンキー（Enter）を押すと，ウェイトは放される。

Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=288&file=FMT14-8.phz

【解答】

(1)

ターンテーブル本体の慣性モーメントは，

$I_0 = \displaystyle\frac{1}{2}Ma^2$

である。求める角速度を $\omega_1$ とすると，角運動量保存により

$(I_0+mR^2)\omega_0 = (I_0+mr^2)\omega_1 \qquad \therefore \omega_1 = \displaystyle\frac{I_0+mR^2}{I_0+mr^2}\;\omega_0$

(2)

エネルギーの増加は，

${\it\Delta}E = \displaystyle\frac{1}{2}(I_0+mr^2){\omega_1}^2 - \frac{1}{2}(I_0+mR^2){\omega_0}^2\\ = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{I_0+mR^2}{I_0+mr^2} m(R^2-r^2){\omega_0}^2$

また，遠心力に抗してウェイトを引く仕事を計算すると，

$W = \displaystyle\int_R^r (-mx\omega^2)dx = -m(I_0+mR^2)^2{\omega_0}^2\displaystyle\int_R^r\frac{xdx}{(I_0+mx^2)^2}\\ = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{I_0+mR^2}{I_0+mr^2}\;m(R^2-r^2)\;{\omega_0}^2$

となる。

(3)

ウェイトが軸から $R$ の距離に動いたとき，角速度は $\omega_0$ にもどるから，求める速さを $v$ とするとエネルギー保存により，

${\it\Delta}E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 \qquad \therefore v = \sqrt{\frac{2{\it\Delta}E}{m}} = \omega_0\sqrt{\frac{I_0+mR^2}{I_0+mr^2}(R^2-r^2)}$

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（初稿：2009/12/29）