Bowl & Ball

剛体の回転・角運動量保存 振動
【問題】

質量 m ，半径 r の小球が固定された半径 R の大きな球の中の底に静止している。小球を平衡位置から少しずらして放したときにおこる振動の周期を求めよ。ただし，小球は滑らないものとする。
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※Algodooの設定は，R = 100{\rm m},r = 20{\rm m} である。「疑似球」は大小の円板を重ねて貼り合わせて，慣性モーメントが一様球に等しくなるように作った。
Algodooシーンのダウンロード>
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=476&file=Bowl%26Ball.phz

【解答】

重心が中心角で {\it\Delta}\theta 動いたとき，小球が {\it\Delta}\phi 回転するとする。小球がすべらない条件から，

{\it\Delta}\phi = \displaystyle\frac{R-r}{r}{\it\Delta}\theta

が成立する。

\therefore \dot{\phi} = \displaystyle\frac{R-r}{r}\dot{\theta}

力学的エネルギーは

E = \displaystyle\frac{1}{2}m(R-r)^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}I\dot{\phi}^2 - mg(R-r)\cos\theta

上の \dot{\phi} を代入し，\cos\theta \simeq 1-\theta^2/2 を用い，定数をのぞけば

E = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{5}m(R-r)^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}mg(R-r)\theta^2

これを単振動のエネルギー

E = \displaystyle\frac{1}{2}M\dot{X}^2 + \frac{1}{2}KX^2

と比較すると，

T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{M}{K}} = 2\pi\sqrt{ \displaystyle\frac{7(R-r)}{5g} }

すなわち，7/5\times(R-r) の長さの単振り子と同じ周期が得られる。

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「疑似球」はまずまず精度よく機能しているようだ。部品として保存しておくと，いつでも必要なサイズに変えて使える。

（初稿：2011.01.13）