重心運動と相対運動のエネルギー - 科学のおもちゃ箱@Hatena

質点系の運動エネルギーが，重心運動のエネルギーと相対運動のエネルギーに分離できることの証明。 $N$ 質点系への一般化は面倒だと思いましたが，すっきりまとまりました。

$i$ 番目の質点の質量を $m_i$ ，位置ベクトル $\boldsymbol{r}_i$ ，速度ベクトル $\boldsymbol{v}_i$ とする。
すなわち，　 $\boldsymbol{v}_i = \displaystyle\frac{d\boldsymbol{r}_i}{dt}$

以下，２乗を含めてベクトルの積は内積を意味するものとする。

全質量　 $M = \displaystyle\sum_i m_i$ 　として，系の重心は

$\boldsymbol{R} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_i m_i \boldsymbol{r}_i}{M}$

その速度は，

$\boldsymbol{V} = \displaystyle\frac{d\boldsymbol{R}}{dt} = \frac{\displaystyle\sum_i m_i \frac{d\boldsymbol{r}_i}{dt}}{M} = \frac{\displaystyle\sum_i m_i \boldsymbol{v}_i}{M}$

逆計算が簡明である。

$\displaystyle\frac{1}{2} M\boldsymbol{V}^2 + \sum_i \Big\{ \frac{1}{2} m_i (\boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{V})^2 \Big\}\\ = \displaystyle\frac{1}{2} M \left(\frac{\displaystyle\sum_i m_i \boldsymbol{v}_i}{M}\right)^2 + \frac{1}{2} \sum_i\left\{ m_i \left(\boldsymbol{v}_i - \frac{\displaystyle\sum_j m_j \boldsymbol{v}_j}{M}\right)^2 \right\}\\ = \displaystyle\frac{1}{2M^2} \left[ M\left(\displaystyle\sum_i m_i \boldsymbol{v}_i\right)^2 + \sum_i\left\{ m_i\left(M \boldsymbol{v}_i - \sum_j m_j \boldsymbol{v}_j\right)^2 \right\}\right]\\ = \displaystyle\frac{1}{2M^2} \left[ M\left(\displaystyle\sum_i m_i \boldsymbol{v}_i\right)^2 + \sum_i\left[ m_i\left\{ M^2{\boldsymbol{v}_i}^2 - 2M\boldsymbol{v}_i\sum_j m_j\boldsymbol{v}_j + \left(\sum_j m_j\boldsymbol{v}_j\right)^2 \right\}\right]\right]\\ = \displaystyle\frac{1}{2M^2}\left[ M\left(\displaystyle\sum_i m_i \boldsymbol{v}_i\right)^2 + M^2\sum_i m_i {\boldsymbol{v}_i}^2 - 2M \sum_i m_i \boldsymbol{v}_i \sum_j m_j \boldsymbol{v}_j + M \left(\sum_j m_j \boldsymbol{v}_j\right)^2 \right]\\ = \displaystyle\sum_i \left( \displaystyle\frac{1}{2} m_i {\boldsymbol{v}_i}^2 \right)$

（証明終り）

（初稿：2010/07/08）