運動量‐エネルギー連立計算の簡略化

衝突・運動量保存 相対運動

mv_0 = mv + MV
\displaystyle\frac{1}{2}m{v_0}^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2

相対運動や衝突の問題でよくみかけるパターン。

\alpha=M/m とおいて
v_0 = v + \alpha V
{v_0}^2 = v^2 + \alpha V^2
↓
\alpha V = v_0 - v　…①
\alpha V^2 = {v_0}^2 - v^2
辺々割ると
V = v_0 + v　…②

①②の連立が簡明である。

ちなみに②は反発係数１によって得られる
v_0 = V - v
に同じ。

衝突問題に限らず、相対運動で力学的エネルギー保存は反発係数１に置き換えてよい。

すぐに気づいた１次元弾性衝突への一般化。

mv+MV = mv^\prime + MV^\prime
\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2 = \frac{1}{2}m{v^\prime}^2 + \frac{1}{2}M{V^\prime}^2
↓
v - v^\prime = \alpha (V^\prime - V)
v^2 - {v^\prime}^2 = \alpha ({V^\prime}^2 - V^2)
↓
辺々割って
v + v^\prime = V^\prime + V
すなわち
v - V = V^\prime - v^\prime