【問題】 図のように、仰角 の斜面と半径 の円弧状の曲面を点Sで滑らかに接続した坂道を転がる円柱の運動について考える。円柱は、斜面上で最下点Pから重心の高さが となる点Qに、そっと置かれるものとする。円柱は一様で質量を 、半径を とする。また、斜面…

「かぎしっぽ掲示板」の質問（ページへのリンクは切れている）から。中心軸Oのまわりに自由に回転する質量 、半径 の円板に糸をかけて、一方は地面に固定され、一方は質量が のおもりが吊り下げられている。円板の中心Oは天井からヤング率 のバネで吊り下げ…

数学を道具として使い慣れると，「計算バカ」に陥りますよ・・・という自分への戒め。 【問題】 起電力が一定で内部抵抗が無視できる電源に，図のように電気抵抗 の抵抗およびレールAB,CDをつなぐ。全体紙面上向きに磁場がかかっているとする。右端から抵抗…

OKWaveのQ&Aより。私もかつて持ったことのある疑問である。なぜ干渉条件は反射の法則を逸脱するかというもの。Q&Aをそのまま転載させていただく。【質問】ニュートンリングニュートンリングの原理の説明において、凸レンズの下面での光の反射が斜め方向では…

複数の物体からなる力学系の運動においては，内力と外力の区別はとても重要になる。たとえば，軽くて摩擦が無視できる定滑車にかかった糸の両端に，質量の異なるおもりが下げられている系を考えよう。おもりの質量を （）とし，糸の張力を ，重力加速度の大…

の式は，定積変化でなくても使えるのか？という熱力学のFAQ。定積変化を考えて，熱力学第１法則により一般に理想気体において，これが成立する。定積変化を考えたのは， を用いて内部エネルギーと温度の関係を導くためだけであり，理想気体では ＝一定で内部…

力学初歩でよくあるかんちがい。おとなとこどもがおしくらまんじゅう。おとながこどもを押す力と，こどもがおとなを押す力はどちらが強いか？「おとながこどもを押す力が強いので，おしくらまんじゅうはおとなの勝ち！」 このかんちがいの克服は，力の発見に…

Yahoo!知恵袋より。運動の第２法則を「力の定義」であるとする解釈について。 =================================================================== 講義で「運動方程式は力の定義ととらえることもできる」と教わり，一方「運動方程式は力の定義式ではない…

物理のかぎしっぽ-物理数学-合成関数の微分への利用（現在ページはリンクが切れている）の練習問題(18)に微分演算子とベクトルの直積が出てくる。 という記述はなれないといささか気持ちが悪いので，直積の記号「」を用いて と書けば紛れがないかもしれない…

曲線座標の計量テンソルを ，その行列式を とすれば，共変微分を用いてと表せる。ここに，公式を用いると，となる。曲線座標におけるラプラシアンを求める簡明な公式といえる。===================================================上の結果を，極座標 に適…

「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。【問題】（大学レベル）半径 ，質量 の一様な円板でできたターンテーブルが，鉛直軸のまわりに自由に回っている。質量 のウェイトが載っていて，軸からひもで引かれており，ターンテーブルの直径にそって摩擦な…

「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。【問題】（大学レベル）質量 の細い一様な棒が水平に一端は支点に支えられ，他端は糸で支えられている。糸が燃やされると，その直後に棒によって支点にかけられる力はどれほどか。ただし，重力加速度の大きさを…

「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。パテがとんできて非弾性衝突をした後の棒の運動。【問題】（大学レベル）質量が で長さが の細い一様な棒が，上端を軸に鉛直面内で自由に回転できるようになっている。質量が同じく のパテのかたまりが，速さ …

「ファインマン流物理がわかるコツ」演習より。親回転盤の上で子回転盤の回転が止まると・・・。【問題】（大学レベル）図のように，質量 ，半径 の静止した大回転盤の上で，質量 ，半径 の小回転盤が角速度 で回転している。大回転盤は自由に回転できるが，…

一様な重力下で固定された球面に拘束された質点（球面振子）の運動の解析。球の半径を とし，わかりやすいグラフの描画のために重力方向を主軸方向として球面座標 （ は鉛直下方からの角変位で， は水平方位角）をとる。質量 の質点のラグランジアンは，微分…

たまたま同僚と話題になったこと。０の０乗は何だろうかという話。数学的に厳密な話をするつもりはない。まず，である。しからば，公平に の極限はというと…するとやはり０の０乗は１なのか？ 便宜上１とする場合もあるらしい。Wikipediaでは，２変数関数の…

万有引力を及ぼしあう 個の天体系において，特定の天体が受ける力の記述。ポテンシャルエネルギーと力をつなぐ計算だから，決して難しい問題ではないが，エレガントに記述するには工夫がいる。【問題】万有引力を及ぼしあう 個の天体系において， 番目の天体…

安定を無視し，単に力のつりあい条件のみで「静止」を語る悪問が後を絶たない。現実にありえない状態を問題にするのはいかがなものか？【問題】３つの点電荷 が一直線上に等間隔に並んで静止している。 [C] として を求めよ。【解答】 が受ける力のつりあい…

質点系の角運動量が，重心運動の角運動量と重心まわりの相対運動の角運動量の和として表されること。慣性モーメントに関する「平行軸の定理」の根拠でもある。 番目の質点の質量を ，位置を とすると，総質量と重心位置は，である。重心運動と相対運動の角運…

久しぶりに，「目からウロコ」の教育的示唆に富む問題に出会った。 の累乗に比例する中心引力下で質点が円運動をするとき，そのまわりの微小振動に関する問題。【問題】質量 の粒子が,中心力ポテンシャルの下で原点を中心とする半径 の円軌道を描いて運動し…

３つの保存則を用いる問題。【問題】 質量 の2つの錘が質量の無視できる長さ の堅い棒の両端についている。この錘付棒が摩擦を無視できるテーブル上に置かれているとする。質量 の粒子が速さ で下図のように棒の片方の錘にぶつかり（なす角は45度）、正反対…

質点系の運動エネルギーが，重心運動のエネルギーと相対運動のエネルギーに分離できることの証明。 質点系への一般化は面倒だと思いましたが，すっきりまとまりました。 番目の質点の質量を ，位置ベクトル ，速度ベクトル とする。 すなわち， 以下，２乗を…

「解析力学」（久保）にある問題。２本のばねでつりさげられた棒の並進・回転の振動。【問題】質量 ，長さ の一様な棒が，ばね定数 の同じばね２本で鉛直につりさげられている。棒の鉛直方向の振動と，鉛直面内の微小回転が同時に起こる運動について，運動方…

「解析力学」（久保）の演習より。支点が水平に強制振動するときに起こる振り子の励振（共鳴）とうなり。【問題】長さ の単振り子の支点が，に従って水平に振動するとき，振り子の運動について運動方程式を立て，振れ角 が小さい場合の近似を用いて運動を調…

自転角 のとき，緯度 における振子の振動面の回転角 とすれば，これは自転による地面の回転角に他ならない。中心角 と自転角 で切り取られる台形の下底と上底の差は， は無限小としてよいからとなるが，一方これは に等しいから，を得る。したがって，緯度 …

軌道方程式を経ずに散乱角と衝突パラメータの関係を得る。【問題】- 座標原点に固定された原子核Zがあり，座標の第一象限から質量 の陽子が初速 ，衝突パラメータ で原子核Z方向へ 軸に平行に発射される。発射後，原子核Zに近づくにつれて陽子は散乱されて進…

ラザフォード散乱の軌道の導出は，古典的には惑星軌道の導出とほとんど変わらない。結果らしいものがわかったので，自分なりに導出してみた。

スイングバイは，簡単にいえば探査機と惑星との弾性衝突である。Yahoo!知恵袋よりひろった１次元弾性衝突としてのスイングバイの考察を２次元にひろげてみた。 【問題】図で重力のスイングバイ効果が、(太陽に対して)9.6km/sの軌道速度でx負方向へ運動してい…

ボウリングのボールの軌道がピンとの衝突でそれる角度の最大値を求める。【問題】ボウリングのボールとピンの衝突を，大小円板の無摩擦弾性衝突として考察する。ボールおよびピンの半径 ，質量 ，ボールの初速度 とするとき，衝突パラメータ に対するボール…

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1068163460より。中空円筒内をころがる円柱の微小振動。円筒を固定した場合と固定しない場合。【問題】質量 ，半径 で厚さが無視できる中空円筒が水平面上に軸を水平にして置いてある。そ…